普法夫約束

動力學中的普法夫約束（Pfaffian constraint）是一種用以下形式描述系統的方式：


其中是系統限制方程的個數。

非完整系統不一定必须是普法夫形式，比如不等式约束。

完整约束一定可以表示為普法夫約束的形式。
推導
假設一個用以下方程組描述的非完整系統

其中是n個描述系統的廣義座標，而是系統約束方程的數量，可以將每一個方程用連鎖律微分：


經過置換後可以得到下式：


例子
單擺
考慮單擺，其重物的運動會受到擺長的約束，其重物的速度向量隨時都會和位置向量垂直。因為二個向量永遠正交，因此其点积恆為零。重物的位置和速度可以用以下-座標系統中的系統來定義：


簡化點積後可得：


將等號兩邊同乘，結果就是約束方程的普法夫約束形式：


普法夫形式很好用，若非完整約束方程存在，可以將普法夫形式積分來求解系統的非完整約束方程。此例中的積分是很明顯的：

其中C是積分常數。

也可以寫成


寫成平方項只因為其必定是正數。在實際系統中，座標一定都是實數。而就是單擺的擺長。

機器人
机器人运动规划中的普法夫約束（Pfaffian constraint），是由k個線性無關約束的集合，而這些約束都對速度線性，也就是說

輪式機器人（wheeled robot）中滾動不滑動的條件即為普法夫約束。

相關條目

Category:機械人運動學
Category:控制理论