控制变量法

控制变量法（）是在蒙特卡洛方法中用于减少方差的一种技术方法。该方法通过对已知量的了解来减少对未知量估计的误差。

 原理 
假设要估计的参数为。同时对于统计，其期望值为：，即是的无偏差估计。此时，对于另一个统计，已知。于是，

也是的无偏差估计，为任一给定系数。的方差为

可以证明，使得方差最小的系数为

此时，对应的方差则为

其中

为与之间的相关系数。越大时，方差越小。

当、或未知时，可以通过蒙特卡洛模拟进行估计。由于该方法相当于一个最小二乘法系统，又被称为回归抽样（）。

 示例 
假设我们要使用蒙特卡洛方法估计

即估计

的期望值。其中，满足均匀分布。假设有n个样本，该估计可表示为

此时，我们引入控制变量，其已知期望值为。由此，可以得到新的估计

以下为并使用估计的最优系数时，一次蒙特卡洛模拟所给出的积分估计值：

 估计 标准差 普通模拟 0.69475 0.01947 控制变量法 0.69295 0.00060

 参考文献 

 Ross, Sheldon M. (2002) Simulation 3rd edition 
 Averill M. Law & W. David Kelton (2000), Simulation Modeling and Analysis, 3rd edition. 
 S. P. Meyn (2007) Control Techniques for Complex Networks, Cambridge University Press. .   Downloadable draft (Section 11.4: Control variates and shadow functions)

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Category:计算统计学