有限差分係數

下表列出使用有限差分法进行数值微分时，各项的系数。按计算中自变量取值方向，分为中心差分，前向差分和后向差分。

中心差分
中心差分估算一阶至高阶微分按照下式：

其中为自变量取等距格点计算函数值时的间隔。

下表列出不同计算精度下，等间距的一阶至高阶中心差分系数。.
 阶次 精度 −4 −3 −2 −1 0 1 2 3 4 1 2           −1/2  0 1/2         4        1/12  −2/3  0 2/3 −1/12       6     −1/60  3/20    −3/4  0  3/4  −3/20  1/60    8 1/280  −4/105  1/5  −4/5  0  4/5  −1/5  4/105  −1/280 2 2           1  −2 1         4        −1/12  4/3  −5/2 4/3 −1/12       6     1/90  −3/20    3/2  −49/18  3/2  −3/20  1/90    8 −1/560  8/315  −1/5  8/5  −205/72  8/5  −1/5  8/315  −1/560 3 2        −1/2  1  0 −1 1/2       4     1/8  −1  13/8  0 −13/8 1  −1/8    6  −7/240  3/10  −169/120   61/30 0  −61/30 169/120  −3/10  7/240 4 2        1  −4  6 −4 1       4     −1/6  2  −13/2  28/3 −13/2 2  −1/6    6  7/240  −2/5  169/60   −122/15 91/8  −122/15 169/60  −2/5  7/240 5 2     −1/2  2  −5/2  0 5/2 −2  1/2    6 2     1  −6  15  −20  15  −6  1   

例如，精度的三阶导的中心差分式为



前向与后向差分
下表列出不同精度下，等间距的一阶至高阶前向差分系数。

 阶次 精度 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1 1  −1  1                    2  −3/2  2  −1/2                 3  −11/6  3  −3/2 1/3                4  −25/12  4  −3  4/3  −1/4           5  −137/60  5  −5  10/3  −5/4  1/5          6  −49/20  6  −15/2  20/3  −15/4  6/5  −1/6       2 1  1  −2  1                 2  2  −5  4  −1              3  35/12  −26/3  19/2  −14/3  11/12             4  15/4  −77/6  107/6  −13  61/12  −5/6         5  203/45  −87/5  117/4  −254/9  33/2  −27/5  137/180       6  469/90  −223/10  879/20  −949/18  41  −201/10  1019/180  −7/10    3 1  −1  3  −3  1              2  −5/2  9  −12  7  −3/2           3  −17/4  71/4  −59/2  49/2  −41/4  7/4          4  −49/8  29  −461/8  62  −307/8  13  −15/8       5  −967/120  638/15  −3929/40  389/3  −2545/24  268/5  −1849/120  29/15    6  −801/80  349/6  −18353/120  2391/10  −1457/6  4891/30  −561/8  527/30  −469/240 4 1  1  −4  6  −4  1           2  3  −14  26  −24  11  −2          3  35/6  −31  137/2  −242/3  107/2  −19  17/6       4  28/3  −111/2  142  −1219/6  176  −185/2  82/3  −7/2    5  1069/80  −1316/15  15289/60  −2144/5  10993/24  −4772/15  2803/20  −536/15  967/240
例如，精度一阶导的前向差分式为
For example, the first derivative with a third-order accuracy and the second derivative with a second-order accuracy are

精度二阶导的前向差分式为

对应的后向差分式分别为



实际上，奇数阶后向差分式相对前向差分，各系数q取相反数；而偶数阶的则不变。如下表：
 阶次 精度 −8 −7 −6 −5 −4 −3 −2 −1 0 1 1                     −1  1 2                  1/2  −2  3/2 2 1                  1  −2  1 2               −1  4  −5  2 3 1               −1  3  −3  1 2            3/2  −7  12  −9  5/2 4 1             1  −4  6  −4  1 2           −2  11  −24  26  −14  3

参见
 有限差分法
 數值微分

参考资料

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