擬牛頓法

擬牛頓法是一種以牛頓法為基礎設計的，求解非線性方程組或連續的最優化問題函數的零點或極大、極小值的算法。當牛頓法中所要求計算的雅可比矩陣或Hessian矩陣難以甚至無法計算時，擬牛頓法便可派上用場。

 搜索極值 

與牛頓法相同, 擬牛頓法是用一個二次函數以近似目標函數. 的二階泰勒展開是

其中, 表示的梯度, 表示Hessian矩陣的近似. 梯度可進一步近似為下列形式

令上式等於, 計算出Newton步長, 

然後構造的近似滿足

上式稱作割線方程組. 但當是定義在多維空間上的函數時, 從該式計算將成為一個不定問題 (未知數個數比方程式個數多). 此時, 構造, 根據Newton步長更新當前解的處理需要回歸到求解割線方程. 幾乎不同的擬牛頓法就有不同的選擇割線方程的方法. 而大多數的方法都假定具有對稱性 (即滿足). 另外, 下表所示的方法可用於求解; 在此, 於某些範數與盡量接近. 即對於某些正定矩陣, 以以下方式更新:

近似Hessian矩陣一般以單位矩陣等作為初期值. 最優化問題的解由根據近似所得的計算出的Newton步長更新得出.

以下為該算法的總結:


 計算新一個疊代點下的梯度
 令
 利用, 直接近似Hessian矩陣的逆矩陣. 近似的方法如下表: 

 Method           Broyden族    

 與逆矩陣的關聯 

若是一個凸二次函數，且Hessian矩陣正定，總是希望由擬牛頓法生成的矩陣收斂於Hessian矩陣的逆。這是基於疊代值更新最小 (least-change update) 的擬牛頓法系列的一個實例。

 實現 

擬牛頓法是現在普遍使用的一種最優化算法, 存在多種-{zh-hans:编程;zh-hant:程式}-语言的實現方法。

 參見 
 牛頓法
 應用於最優化的牛頓法

 參考文獻 

Category:最优化算法
Category:求根算法