拉東變換

數學上，拉東變換（又稱雷登變換）是一種積分變換，這個變換將二維平面函數變換成一個定義在二維空間上的一個線性函數(的意思是對做拉東變換)，而的值為函數對該條線做積分的值。以右圖為例，黃色區域即是，線則是代表。

拉東變換是约翰·拉东在西元1917年提出，他也同時提出拉東變換的反變換公式，以及三次空間的拉東變換公式。
三次空間拉東變換，是對一個平面積分(對線積分則是)。而在不久之後，更高維度的歐幾里得空間的拉東變換被提出，更詳盡的廣義拉東變換要参见。
在複數上有和拉東變換相似的，拉東變換被廣泛的應用在斷層掃描，拉東反變換可以從斷層掃描的剖面圖重建出投影前的函數。

簡介
若函數表示一個未知的密度，對做拉東變換，相當於得到投影後的訊號，舉例來說：相當於人體組織，斷層掃描的輸出訊號相當於經過拉東變換的。
因此，可以用拉東反變換從投影後的密度函數，重建原始的密度函數，它也是重建斷層掃描的數學理論基礎，另一個被廣為人知名詞的是三維重建。

拉東變換後的訊號稱作正弦圖（），因為一個偏離中心的點的拉東變換是一條正弦曲線。所以對一些小點的拉東變換，會看起來像很多不同振福、相位的正弦函數重疊在一起。

拉東變換可以應用在：X射線電腦斷層掃描、條碼掃描器、（Macromolecular assembly）的電子顯微鏡（例如：病毒、蛋白質複合體）、反射地震学，而且也是雙曲線偏微分方程的解。

定義
令密度函數是一個的定義域為  的緊支撐。令為拉東變換的運算子(operator)，則是一個定義在
空間中的直線，它的定義如下

可以把直線 改寫成一個弧長的參數式

是直線和原點的距離，而是垂直於的法線和軸的夾角，
接下來，我們可以令當作平面上的新座標系統，把這個座標變換帶入到拉東變換得到

更進一步，我們可以把推廣到的歐幾里得空間，對一個緊支撐的連續函數做拉東變換後的函數是定義在
的超平面上，

積分的對象是自然超平面測度(natural hypersurface measure)，而是原本的的高維推廣。可以觀察到對裡的任意元素，
都是某個軌跡方程式的解

而是一個單位向量且屬於，，n維的拉東變換可以改寫成定義在 上的函數

也可以藉由其他方式將拉東變換推廣，也就是對的k維仿射子空間作(k-dimensional affine subspaces)積分。
而這種推廣拉東變換的特殊情況被廣泛應用在X射線電腦斷層掃描，他的做法是對一條直線積分。

與傅立葉變換的關係

拉東變換和傅立葉變換之間有很強的關聯性。單變數的傅立葉變換的定義是

而雙變數的傅立葉變換是

把拉東變換的運算子的表記從 改成 。根據投影切片定理學說，

因此一個初始函數沿著一條線傾角的二維的傅立葉變換，相當於對拉東變換做一維的傅立葉變換。這個結果可以推廣到n維

對偶變換
對偶拉東變換是拉東變換的埃爾米特伴隨。令在空間上的函數，而對偶拉東變換的運算子定義為。作用在上

積分的範圍是所有和相交的超平面集合，而測度(measure)是集合特殊的機率測度(Probability measure)，
當對著旋轉時，的值不會改變

對於一個二維的拉東變換，其對偶變換是

在影像處理的文章中，對偶變換經常被稱作反向投影(back-projection) ，因为它将平面中每条线上定义的函数 投影到该线上，从而生成图像。

交結性質

根據拉普拉斯算子在 的定義是

這是一個旋轉不變性的二階微分算子，在空間，半徑的二階導數

也是旋轉不變性。
而拉東變換與其對偶變換屬於交結運算子(intertwining operator)，是因為

重建方法

重建處理是指從投影影像重建一個影像，或是一個函數。重建處理是一種逆問題(inverse problem)。

拉東反變換公式

對於二維拉東變換，最常被使用的解析公式(analytical formula)，是Filtered Backprojection Formula或拉東反變換公式，反變換公式為

函數滿足，卷積核 (convolution kernel) 在一些文章中稱作Ramp filter。

不適定問題 (ill-posedness)

直覺上，反變換公式應該和微分類似，。我們可以看的出來反變換公式
的行為類似微分。大致上來說，這個反變換公式把目標奇異化(singular)；要如何量化拉東反轉化的不適定問題 (ill-posedness)呢？首先可以寫出

即是前面定義的反變換運算子，且伴隨著(adjoint to)拉東變換，因此，上式變成

複數指數函數，是的固有函數 (eigenfunction) ，
而特徵值 (eigenvalue)為。的奇異值 (singular values) 是，
因為這些奇異值 (singular values)會趨近於0，所以是無界的(unbounded) 。

反變換公式

外顯(explicit)且計算效率好的拉東反變換公式，以及他的對偶是存在的。n維的反拉東變換可以由

其中

而是拉普拉斯算子(Laplacian)，是偽微分算子(pseudodifferential operator)

是傅立葉變換的運算子(operator)。

參見
反摺積

霍夫變換
疊代稀疏漸近最小方差算法

注釋

參考
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