最小相位

最小相位（minimum-phase）是控制理论及信號處理中有特殊性質的系統，對於线性时不变系统，若本身為因果系统且穩定，且其逆系統也是穩定的因果系统，此系統即為最小相位系統J. O. Smith III, Introduction to Digital Filters with Audio Applications  (September 2007 Edition).。

相反的，非最小相位（non-minimum phase）系統可以用最小相位系統串接，使部份的零點移到右半面。若有零點在右半面，表示其逆系統不穩定。全通濾波器加入了「額外的相位」（有些可能是传送迟延），這也是為何所得系統稱為非最小相位的原因。

例如一個離散系統，其有理傳遞函數若其所有的極點都在單位圓內，此系統為符合因果性的穩定系統。不過此系統的零點可以在單位圓內或是圓外的任意位置。若離散系統的零點也都在單位圓內，則這個系統也是最小相位的系統。以下會說明為何這様的系統會稱為最小相位系統。

 逆系統 
一系統可逆的條件是可以由其輸出找到唯一對應的輸入，也就是可以找到系統使得若將及二個系統連接，可以得到單位系統（可以參反矩陣）。

假設為系統的輸入，其輸出為

將作為逆系統的輸入，可得：

因此可以用逆系統，找到輸出對應的唯一輸入。

 離散時間的例子
假設系統是離散時間的線性非時變系統（LTI），可以用冲激响应（n為整數）表示。而且，假設系統的 冲激响应為。二個線性非時變系統的級聯為卷積。上述的關係可以以下式表示：

其中為克罗内克函数或是離散時間下的單位矩陣。注意其逆系統不一定要是唯一的。

 最小相位系統 
若系統再加上因果性且穩定性的條件時，其逆系統就是唯一的，而且系統和逆系統都是最小相位系統。離散系統下因果性及穩定性的條件如下（針對非時變系統，其中的h為系統的沖激響應）：

 因果性 

及

 穩定性 

及

在有界輸入有界輸出穩定性條目會看到對應連續系統的條件。
 頻域分析 
 離散時間系統的頻域分析 
將最小相位應用在離散時間系統中可以看出一些其中的特性，其時域方程式如下。

進行Z轉換後可以得到以下的關係。

由於上述關係，可得

為了簡單起見，只考慮有理传递函数 H (z)。因果性及穩定性表示所有的H (z)极点都需要嚴格的在单位圆內（參照有界輸入有界輸出穩定性）。假設

其中A (z)及D (z)是z的多項式。因果性及穩定性會使得D (z)的零点（根）需要嚴格的在单位圆內（不能在邊界上）。而

因此的因果性及穩定性也會使得為A (z)的零点需要嚴格的在单位圆內，上述二個條件下，最小相位系統的零點及極點都需要在嚴格的在单位圆內。

 連續時間系統的頻域分析 
連續時間系統的分析和離散系統類似，不過會使用拉普拉斯变换，其時域的方程式如下。

其中為狄拉克δ函数。狄拉克δ函数是連續時間下的恒等算子，因為其和任意信號x (t)都會有篩選性質。

進行拉普拉斯变换可得到以下S平面的關係。

也可以得到下式

為簡化起見，此處也只考慮有理传递函数H(s)。因果性及穩定性表示H (s)的所有极点都要嚴格的在左半S平面（參考有界輸入有界輸出穩定性）。假設

其中A (s)及D (s)是s的多項式。的因果性及穩定性表示D (s)的所有零點都在左半S平面內，而

的因果性及穩定性表示A (s)的所有零點都在左半S平面內，因此最小相位系統的最有極點及零點都需要嚴格的在左半S平面內。

增益響應及相位響應的關係

不論是連續時間或是離散時間的最小相位系統，都有一個常會用到的性質：增益頻率響應的自然對數（增益的對數單位為奈培，和分貝成正比），和頻率響應的相角（單位為弧度）有關，兩者的關係是希爾伯特轉換。在連續時間系統下，令

是系統H(s)的複數頻率響應。在最小相位系統下，系統H(s)的相位響應和增益響應的關係為

以及

.

若用較精簡的方式表示，令

其中和都是實數下的實函數，則

及

.

希爾伯特轉換算子定義為

 .

在離散時間系統中也有等效的對應關係。

 時域下的最小相位 

針對所有有相同增益响应的因果穩定系統，最小相位系統的能量最集中在冲激响应的開始處，也就是說最小相位系統最小化了以下的函數（可以視為是冲激响应能量的延遲）。

 最小相位及最小群延遲 

在所有增益响应相同的因果穩定系統中，最小相位系統的群延遲最小。以下證明可以說明為何該系統有最小的群延遲。

假設考慮传递函数中的一個零点 ，先讓零点在单位圆內（），看對群延遲的影響。

因為零点  在传递函数中貢獻了的因子，因此其對相位的貢獻如下：

所貢獻的相延遲如下。

若將零点移到单位圆外的對應點，也就是，上式的分母和都不會變化，而分子的大小增加，因此讓在单位圆內可以讓群延遲中的貢獻最小化。可以將上述結果延伸到超過一個零点的情形，因為的相位是各項次相位相加的結果，因此，對於有個零點的传递函数，

一個所有零点都在单位圆內的最小相位系統可以讓群延遲降到最小，因為每個零点對群延遲的貢獻都降到最小。


 非最小相位系統 
若系統本身是因果穩定系統，其逆系統具有因果性，但不穩定，原系統即為非最小相位系統（non-minimum-phase）。非最小相位系統和最小相位系統有相同的增益響應，但非最小相位系統的相位貢獻會比最小相位系統要大。

 最大相位系統 
最大相位系統（maximum-phase）是和最小相位系統有相反特性的系統，最大相位系統也是非最小相位系統（系統本身是因果穩定系統，其逆系統具有因果性，但不穩定），而且
 離散時間系統下的零點都在單位圓外。
 連續時間系統下的零點都在複數平面的右半邊。
也就是其逆系統所有的極點都不穩定。

此系統稱為最大相位系統的原因是在所有有相同增益響應的系統中，最大相位系統有最大的群延遲。在等增益響應的系統的系統中，最大相位系統有最大的能量延遲。

例如以下是二個連續時間LTI系統的傳遞函數

這二個系統的增益響應相同，但第二個系統相位移的貢獻較大，因此第二個系統是最大相位系統，而第一個系統為最小相位系統。

 混合相位系統 
離散時間下的混合相位系統（mixed-phase）有些零點在單位圓內，有些零在單位圓外，其群延遲不是最小值，也不是最大值。連續時間下的混合相位系統則是有些零點在右半平面內，有些零點在右半平面。

例如連續時間系統

是因果穩定系統，但有零點在左半平面，也有零點在右半平面，因此是混合相位系統。

 線性相位 
（linear-phase）系統的群延遲是定值。非平凡的線性相位系統或是接近線性相位系統都是混合相位系統。

相關條目
：一種特殊的非最小相位系統
克拉莫-克若尼關係式：物理上的最小相位系統

參考資料

延伸閱讀

Dimitris G. Manolakis, Vinay K. Ingle, Stephen M. Kogon : Statistical and Adaptive Signal Processing, pp. 54–56, McGraw-Hill, ISBN 0-07-040051-2
Boaz Porat : A Course in Digital Signal Processing, pp. 261–263, John Wiley and Sons, ISBN 0-471-14961-6

Category:数字信号处理
Category:控制理论