随机数列

随机数列（英文：）的概念在概率论和统计学中都十分重要。整个概念主要构建在由随机变量组成的数列的基础之上，因此每每提及到随机数列，人们常常会这样开场：“设为随机变量……”但是也如同美国数学家在1951年时说的那样：“随机数列是一个很模糊的概念……它每一项都是无法预测中的无法预测，但是这些数字却能够通过传统的统计学上的考验。”

概率公理有意绕过了对随机数列的定义。传统的统计学理论并没有直接阐明某个数列是否随机，而是直接跳过这部分，在假设某种随机性存在的前提之下讨论随机变量的性质。比如布尔巴基学派就认为，“‘假设一个随机数列’这句话是对术语的滥用。”

早期历史
法国数学家埃米尔·博雷尔是1909年第一批给出随机性的正式定义的数学家之一。在1919年，受大数定理的启发，奥地利数学家理查德·冯·米泽斯给出了第一个算法随机性的定义。但是，他使用了“集合”这个词，而不是“随机数列”。利用，冯·米泽斯定义道：若由0和1构成的无穷数列具有“频率稳定性的特点”，也就是说，0的频率趋进于1/2，且该数列的每个“以适当方式选取的”子数列也都没有偏差，那么我们说，这个数列是“随机的”。

冯·米泽斯的这个方法中，“适当选取子数列”的标准非常重要，因为虽然说“01010101……”本身没有偏差（0出现的概率为1/2），但是若我们只选奇数位置上的数字，得到的子数列便成了完全不随机的“000000……”。冯·米泽斯未曾就这个问题正式给出一个选取规则上的解释。1940年，美国数学家阿隆佐·邱奇将这个规则定义为“任何已经读取该无穷数列的前N项，并决定是否读取其第N+1项的递归函数。”邱其是可计算函数方面的先驱，他给出的这个定义的可计算性基于邱奇－图灵猜想。这个定义经常被称作“米泽斯-邱其随机性”（英文：）。

现代方法
在20世纪，人们发展出了一些技术手段来定义随机数列。在1960年代中期，苏联数学家安德雷·柯尔莫哥洛夫和美国数学家各自独立提交了一份更宽容的子数列选取规则。在他们看来，邱其的递归函数过于严苛，因为它只能按顺序读取数列的前N项。与邱其相反，他们的规则是允许从数列中选取“任意”N项，并决定是否需要再选一个项。这个定义经常被称作“柯尔莫哥洛夫-罗弗兰德随机性”（英文：）。但是Alexander Shen则认为这个方法过弱，并给出了一个不符合大众眼中的随机性的柯尔莫哥洛夫-罗弗兰德随机数列。

1966年，瑞典数理统计学家佩尔·马丁-洛夫引入了一个被后世称为最令人满意的的概念。 他的这一概念中起初涉及到了了测量理论，但后来证明也可以用柯氏复杂性来表示。（柯尔莫哥洛夫对于随机字符串的定义，即柯氏复杂性，是说，“若一个字符串在通用图灵机中没有一个比自身要更短的描述，那么这个字符串是随机的”。）

现如今，有三个处理随机数列的方式：

 频率／测量理论法。这个方法建立在前文的米泽斯和邱其的方法的基础之上。 在1960年代，佩尔·马丁-洛夫注意到，人们能够写下基于频率生成随机数列的代码，而这些代码的集合是一种特殊的集。在此基础之上，通过利用所有的零测度集，人们能够得到一个更加放之四海而皆准的随机数列定义。

 复杂度／可压缩度法。柯尔莫哥洛夫本人对这个方法贡献巨大，其次还有列文和阿根廷裔美国数学家等也作出了一定的贡献。对于有限项的随机数列，柯尔莫哥洛夫将它的随机性定义为“熵”，也就是后来的柯氏复杂性。这个定义下，一个包含了0与1组成的、长度为的字符串（或者数列，二者并无本质上的区别），其“熵”的大小为这个数列的最短描述的长度和的接近程度。字符串的复杂度越接近于，它也会越随机；而字符串的复杂性越低于，它也就越不随机。

 可预测性法。这个方法由德国数学家提出。他用了一个和传统概率论稍有不同的鞅的定义。他证明了“若人们拥有一个下注策略，可以从多种可能中选择出最优的方案，那么人们也可以用类似的策略选出一个有偏差的子集。”如果人们只需要一个递归性的鞅（而不是构造的方式）便能够成功选出数列的话，那么人们就该使用递归随机性的概念中。美国数学家则证明出，递归随机性和施诺的随机性并不是同一个概念。Yongge Wang: Randomness and Complexity. PhD Thesis, 1996. http://webpages.uncc.edu/yonwang/papers/IPL97.pdf 

这三个方式在大多数情况下被证实是等价的。

需要注意的是，按照以上任意一个关于无限数列的随机性定义，由于都是着眼于随机性趋势，因此对数据开头部分的随机性不敏感。如果在随机数列的第一项前插入哪怕一百万个0，得出的仍然会是随机数列。因此，应用这几个定义时应该小心谨慎。

参见
 随机性

 随机数生成器



参考资料

外部链接

 【视频】为何没法“人工”生成随机数字？ 关于频率的稳定性。
 http://www.ciphersbyritter.com/RES/RANDTEST.HTM#vonNeumann63 

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