五階六邊形鑲嵌

在幾何學中，五階六邊形鑲嵌（）是由六邊形組成的雙曲面正鑲嵌圖，在施萊夫利符號中用表示。五階六邊形鑲嵌即每個頂點皆為五個六邊形的公共頂點，頂點周圍包含了五個不重疊的六邊形，因此無法因此無法在平面作出，但可以在雙曲面上作出(Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations)，或以正則地區圖的形式存在。

 性質 
五階六邊形鑲嵌是指每個頂點皆為五個六邊形的公共頂點所構成的鑲嵌結構。一般而言這種鑲嵌結構僅能存在於雙曲面上並無窮延伸。然而透過取出區面的局部將其轉成其他虧格的環面則可將其轉換為有限的正則地區圖。在施萊夫利符號中五階六邊形鑲嵌可以用{6,5}表示，這個符號表是每個頂點皆為五個六邊形的公共頂點。而在正則地區圖中，五階六邊形鑲嵌會表達為{6,5}p，其中下標的p表示這個正則地區圖對應的皮特里多邊形為p邊形。

 正則地區圖 
做為有限的正則地區圖，五階六邊形鑲嵌從虧格為9開始存在，其中可定向的{6,5}正則地區圖有皮特里多邊形為六邊形、八邊形、十邊形、十二邊形等的正則地區圖Regular maps in the orientable surface of genus 17 , genus 41 , genus 45 , genus 49 , genus 55 , genus 65 , genus 81 , ，不可定向的有皮特里多邊形為四邊形、五邊形、六邊形和十邊形的正則地區圖Regular maps in the non-orientable surface of genus 10 , genus 42 , genus 46 , genus 50 , genus 66 , 。
+ 五階六邊形{6,5}正則地區圖可定向性虧格施萊夫利符號對應多面體面數邊數頂點數可定向1{6,5}雙曲無限面體（雙曲正鑲嵌）9{6,5}4二十面體206024{6,5}10二十面體20602417{6,5}8四十面體401204841{6,5}10一百面體100300120{6,5}20一百面體10030012045{6,5}6一百一十面體110330132{6,5}12一百一十面體11033013249{6,5}6一百二十面體12036014455{6,5}10一百三十五面體13540516265{6,5}10一百六十面體16048019281{6,5}40二百面體20060024089{6,5}6二百二十面體220660264{6,5}12二百二十面體220660264不可定向10{6,5}4十面體103012{6,5}5十面體103012{6,5}10十面體10301242{6,5}5五十面體501506046{6,5}6五十五面體551656650{6,5}6六十面體601807250{6,5}6六十面體601807266{6,5}6八十面體802409690{6,5}6一百一十面體110330132

 相關多面體與鑲嵌 
 相關多面體 
 皮特里大十二面體 

皮特里大十二面體是大十二面體的皮特里對偶，可以透過將原有大十二面體上取皮特里多邊形構成，換句話說，皮特里大十二面體為由大十二面體的皮特里多邊形構成的立體。由於大十二面體的皮特里多邊形為扭歪六邊形，因此無法確立其封閉範圍，故無法計算其表面積和體積。
 150px大十二面體 150px皮特里大十二面體
由於大十二面體與小星形十二面體對應相同的正則地區圖，因此皮特里大十二面體對應的正則地區圖也與皮特里小星形十二面體相同，皆由10個面、30條邊和12個頂點組成。

皮特里大十二面體是一個不可定向且虧格為10的幾何結構。皮特里大十二面體由10個扭歪六邊形組成，每個頂點都是5個扭歪六邊形的公共頂點，其對應的正則地區圖為五階六邊形鑲嵌，並具有五邊形的皮特里多邊形，在施萊夫利符號中可以用{6,5}5表示。
 150px大十二面體的皮特里多邊形 150px構成皮特里大十二面體的扭歪六邊形面

 皮特里小星形十二面體 

皮特里小星形十二面體是小星形十二面體的皮特里對偶，可以透過將原有小星形十二面體上取皮特里多邊形構成，其拓樸結構與皮特里大十二面體同構。是施萊夫利符號為{6,5}的120階元素對稱性抽象多面體的一種具象化結果。
皮特里小星形十二面體、小星形十二面體、大十二面體、皮特里大十二面體的關係如下：
120px皮特里大十二面體A <->[\pi] B100px大十二面體C <->[\delta] D100px小星形十二面體A <->[\pi] B100px皮特里小星形十二面體
其中，「A <->[\pi] B」表示互為皮特里對偶；「C <->[\delta] D」表示互為對偶多面體。
 150px小星形十二面體 150px皮特里小星形十二面體
大十二面體與小星形十二面體對應相同的正則地區圖，皆由10個面、30條邊和12個頂點組成，且每個頂點都是5個扭歪六邊形的公共頂點，對應的正則地區圖同為五階六邊形鑲嵌，並具有五邊形的皮特里多邊形，在施萊夫利符號中可以用{6,5}5表示。然而其構成面面有些許不同，且來自不同原像，因此可以被視為{6,5}的不同具象化方式。
 180px小星形十二面體的皮特里多邊形 150px小星形十二面體的皮特里多邊形正交投影 150px構成皮特里小星形十二面體的扭歪六邊形面

 相關鑲嵌圖 
該鑲嵌在拓樸學中也和每個頂點為五個多邊形的公共頂點的多面體及鑲嵌相關，這類幾何結構施萊夫利符號皆為{n,5}、為，其中n從2到無窮。

該鑲嵌在拓樸學上頂點圖為65，其餘頂點圖為6n的幾何結構有：

五階六邊形鑲嵌可以透過康威多面體變換成一系列鑲嵌圖：
正六邊形/五邊形鑲嵌對稱性：[6,5], (*652)[6,5]+, (652)[6,5+], (5*3)[1+,6,5], (*553)60px60px60px60px60px60px60px60px60px{6,5}t{6,5}r{6,5}2t{6,5}=t{5,6}2r{6,5}={5,6}rr{6,5}tr{6,5}sr{6,5}s{5,6}h{6,5}對偶鑲嵌60px60px60px60px60px60px60pxV65V5.12.12V5.6.5.6V6.10.10V56V4.5.4.6V4.10.12V3.3.5.3.6V3.3.3.5.3.5V(3.5)5

 [(5,5,3)] 反射對稱性均勻鑲嵌60px60px60px60px60px60px60px

參見

四階五邊形鑲嵌
正六邊形鑲嵌
參考資料

 外部連結 

 Hyperbolic and Spherical Tiling Gallery
 KaleidoTile 3: Educational software to create spherical, planar and hyperbolic tilings 
 Hyperbolic Planar Tessellations, Don Hatch

Category:雙曲面鑲嵌
Category:鑲嵌