模算數

模算數或稱同餘運算（）是一個整数的算术系統，其中數字超過一定值後（稱為模或餘數）後會「捲回」到較小的數值，模算數最早是出現在卡爾·弗里德里希·高斯在1801年出版的《算术研究》一書中。

模算數常見的應用是在十二小時制，將一天分為二個以十二小時計算的單位。假設現在七點，八小時後會是三點。用一般的算術加法，會得到，但在十二小時制中，超過十二小時會歸零，不存在「十五點」。類似的情形，若時鐘目前是十二時，二十一小時後會是九點，而不是三十三點。小時數超過十二後會再回到一，為模12的模算數系統。依照上述的定義，12和12本身同餘，也和0同餘，因此12:00的時間也可以稱為是0:00，因為模12時，12和0同餘。

同餘關係

模算數可以在導入整數的同餘關係後，通过经典算数的运算法则来推导模运算的运算法则。若有两个正整数和，并且二數的差值為的整數倍數，我们就可以说和在模下同餘。数学式表达为：

例如

因為，是12的倍數。

上述的概念也對負數有效：

而同餘關係也可以用計算带余除法中的余数来理解。若正整数和在除以后的余数相同，。例如：

因為38和14除以12時，餘數都為2。這是因為是12的整數倍。

运算定律

如果，，为任何正整数，

那么我们有以下运算定律：

综上所述，我们在模算数里可以使用除除法以外的任何四则运算。

應用
模算數在数论、群论、环论、紐結理論、抽象代数、計算機代數、密码学、计算机科学及化學中都有使用，也出現在視覺藝術及音乐。

模算數是数论的基礎之一，也提供了群论、环论及抽象代数中一些重要的範例。

模算數也常作為識別碼的校验码。例如国际银行账户号码（IBAN）就用模97的餘數來避免輸入編號時的錯誤。

在密碼學中，模算數是 RSA及迪菲-赫爾曼等公开密钥加密系統的基礎，也提到了和 椭圆曲线有關的有限域，用在許多的对称密钥算法中，包括高级加密标准（AES）、國際資料加密演算法（IDEA）、及RC4。RSA和迪菲-赫爾曼密鑰交換用到了模冪。

在電腦代數中，模算數常用來限制中間計算的整數係數大小，也限制計算中用到的資料。模算數用在中（其中所有已知有效率的演算法都用到了模算數），而針對整數及有理數的、线性代数及，最有效率解法都用到了模算數。

計算機科學中，模算數會以位操作的方式表示，也和其他定長度、循環式的数据结构有關。許多编程语言及计算器中都有模除，而XOR是二個位元在模2下的和。

化學中，表示化合物編號的CAS号，最後一碼是校验码，是將CAS号前二位數乘以1、下一位乘以2，再下一位乘以3……，最後對10取餘數而得。

音樂上，模12的模算數用在十二平均律的系統中，其中有純八度及異名同音的情形（例如升音符的C音和降音符的D音會視為是同一個音）。

去九法是徒手計算時快速的檢查工具，是以模9的模算數為基礎，而且其中最重要的性質是。

模7的模算數在許多計算特定日期是星期幾的演算法中出現，特別是蔡勒公式及中。

模算數也用在像法律（像分配 (政治)）、经济学（像博弈论），若一些社会科学的分析會強調資源的及分配，也會用到模算數。

 歷史背景 
模算數的系統化發展可追溯至德國數學家高斯（Carl Friedrich Gauss）於 1801 年出版的著作《算術研究》（Disquisitiones Arithmeticae）。在該書中，高斯首次明確引入了「同餘」（congruence）這一概念，並採用如下記號：

他將此關係定義為：若整數  與  相減後能被  整除，則稱  與  在模  下同餘，即：

當且僅當 

高斯的研究標誌著模運算正式成為數論的基礎語言之一。他在書中不僅探討了模的基本性質，也提出了許多與同餘相關的重要定理，例如歐拉定理、小費馬定理與二次剩餘定理，對後世的代數、數論與現代密碼學產生深遠影響。Carl Friedrich Gauss, Disquisitiones Arithmeticae, Leipzig: Gerh. Fleischer, 1801.

值得注意的是，在高斯之前，東亞的數學文獻中已有模運算的早期應用。例如中國古代《孫子算經》便出現了類似「中國剩餘定理」的思想，其描述如下：

：今有物，不知其數。三三數之，剩二；五五數之，剩三；七七數之，剩二。問物幾何？

這正對應於現代的同餘組合：

（中國剩餘定理的形式）

該問題的解可由中國剩餘定理求得，是模算數應用於實際問題的早期範例之一。孫子, 《孫子算經》, 中國, 西元三世紀.

相關條目

 布尔环
 環形緩衝區
 同餘關係
 除法
 有限域
 勒让德符号
 模冪
 模反元素
 模除
 数论
 皮萨诺周期（模n下的斐波那契序列）
 原根
 二次互反律
 二次剩余

 两元素布尔代数
 和模算數有關的群論主題：
 循環群
 整数模n乘法群
 其他和模算數有關的重要定理：
 卡邁克爾函數
 中国剩余定理
 欧拉定理 (数论)
 费马小定理
 拉格朗日定理 (群論)

參考資料

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