格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理

代数几何中，格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理是关于相干层上同调的意义深远的结果。它是关于复流形的希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理的推广，其又是对紧黎曼曲面上线丛的经典黎曼-罗赫定理的推广。

黎曼-罗赫型定理将向量丛上同调的欧拉示性数与其拓扑度，或更一般地与其（上）同调中的示性类或其代数类似物联系起来。经典的黎曼-罗赫定理针对的是曲线和线丛，而希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理将其推广到流形上的向量丛。格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理将这两个定理置于两个流形（或更一般的概形）之间态射的相对情形中，并将该定理丛关于单一丛的陈述变为适用于层的链复形的陈述。

格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理对阿蒂亚-辛格指标定理的发展影响深远，反过来，格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理的复分析类比也可以用族的指标定理来证明。1957年，亚历山大·格罗滕迪克在一份后来出版的手稿中给出了首个证明。、A. Grothendieck. Classes de faisceaux et théorème de Riemann–Roch (1957). Published in SGA 6, Springer-Verlag (1971), 20-71.Armand Borel与让-皮埃尔·塞尔撰写并发表了他的证明（1958）。后来，格罗滕迪克与合作者对证明进行了简化与推广。SGA 6, Springer-Verlag (1971).

公式
令X为域上的光滑拟射影概形，凝聚层的有界复形的格罗滕迪克群规范同构（canonically isomorphic）于秩有限向量丛的有界复形的格罗滕迪克群。利用这种同构，将陈示性（陈类的有理组合）视作一种函子式变换：

其中是d维的X上的循环的周群，模去有理等价，以有理数张开。若X定义在复数上，则后一个群映射到拓扑上同调群：

现在考虑光滑拟射影概形与上的层的有界复形之间的真射。

格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理涉及前推映射

（高阶直像的交替和）与前推

由公式

其中是X（的切丛）的Todd属。因此，该定理给出了衡量上述前推映射与陈特征之间交换性偏差的方法，并表明所需的修正函子只取决于X、 Y。事实上，由于Todd属在正合序列中是函子、乘法的，可以将格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式重写为

其中是f的相对切层，定义为元素。例如，当f是光滑态射时，就只是向量丛，即沿f的纤维的切丛。

运用A1同伦论，将格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理推广到f是两光滑概形间的真映射。

泛化与特化
考虑组合的适当推广，可将定理推广到非光滑情况；考虑具有紧支集的上同调，可将定理推广到非真（non-proper）情况。

算术黎曼-罗赫定理将格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理推广到算术概形（arithmetic scheme）。

希策布鲁赫-黎曼-罗赫定理（本质上）是Y为点、域为复数域的特例。

有向上同调论的黎曼-罗赫定理由Ivan Panin与Alexander Smirnov提出。它涉及代数有向上同调论之间的乘法（如代数配边）。格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理是这结果的特殊情况，这时自然会出现陈示性。, see 4.2.10 and 4.2.11

 例子 
 曲线上的向量丛 
域的光滑射影曲线上秩为、度为（定义为其行列式；或等价地，其第一陈类的度）的向量丛有类似于线丛的黎曼-罗赫形式的公式。若取点、，则格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式可理解为

于是

此式也适于秩为、度为的相干层。

 光滑真射 
格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式的优点之一是可解释为希策布鲁赫-黎曼-罗赫公式的相对版本。例如，光滑态射的纤维都是等维的（在基变为时作为拓扑空间是同构的）。在模理论中考虑由模空间对光滑真空间进行参数化时，这事实非常好用。例如，戴维·芒福德用它推导了代数曲线模空间上的周环关系。

 曲线的模 
对属曲线（且无标记点）的模叠，有通用曲线，其中是属曲线和一个标记点的模叠。然后定义重言类

其中与是相关的对偶化层。注意在点上的纤维，这就是对偶化层。可利用格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理找到光滑轨迹的周环上的之和 (corollary 6.2)，从而找到描述的、间的关系。由于是光滑德利涅-芒福德叠，可考虑由概形的覆盖，对某个有限群可给出。对应用格罗滕迪克-黎曼-罗赫定理，可得

因为

由上式可知

这样，的计算可以进一步减少。在偶数维，

另外在1维，

其中是边界上的一个类。时，在光滑轨迹上有如下关系

可通过分析的陈示性推得。

 闭嵌入 
闭嵌入也可用格罗滕迪克-黎曼-罗赫公式描述，其显示了公式成立的另一种非平凡情形。对维光滑簇及余维为的子簇，有

由短正合序列

,

有下式

for the ideal sheaf since .

 应用 

 模空间的准射影性 
过两天都是-黎曼-罗赫公式可用于证明粗糙模空间（如有尖代数曲线的模空间）可嵌入到射影空间，因此是准射影簇。这可以通过观察上的规范相伴层（canonically associated sheaf）、研究相伴线丛的度实现。例如，有曲线族

有截面

对应标记点。由于每根纤维都有规范丛，有相伴线丛

及

于是

是丰沛线丛，因此粗糙模空间是准射影的。

 历史 
亚历山大·格罗滕迪克的黎曼-罗赫定理最初是在1956–1957年左右写给让-皮埃尔·塞尔的一封信中提出的。1957年，在第一届波恩工作会议（Bonn Arbeitstagung）上公开发表，随后塞尔和Armand Borel在普林斯顿大学组织了一次研讨会来理解它。最后发表的论文实际上就是Borel–塞尔的论述。

格罗滕迪克方法的意义在于以下几点。首先，格罗滕迪克改变了陈述本身：此前人们认为黎曼-罗赫定理是关于单个代数簇的性质，而格罗滕迪克将其重新阐释为两个代数簇之间态射的相对性质。他找到了正确的推广，使证明变得简单，而结论变得更宽泛。简言之，格罗滕迪克将一种强范畴方法一项艰巨的分析。此外，如上所述，格罗滕迪克引入了K-群，为代数K-理论铺平了道路。

 另见 
川崎黎曼–罗赫公式

注释

参考文献






外部链接
 The Grothendieck-Riemann-Roch Theorem 
The thread  "Applications of Grothendieck-Riemann-Roch?" on MathOverflow.
 The thread "how does one understand GRR? (Grothendieck Riemann Roch)" on MathOverflow.
The thread "Chern class of ideal sheaf" on Stack Exchange.

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