最大流最小割定理

最大流最小割定理是最优化理论的定理。根据该定理，在一个网络流中，从源点到汇点的最大的流量，等于它的最小割中每一条边的容量之和。“割”指的是一种边的集合，如果移除这个集合的全部边，就会断开源点和汇点的连接。

最大流最小割定理是线性规划中的对偶问题的一种特殊情况，并且可以用来推导门格尔定理和König–Egerváry定理。

 定义 
最大流和最小割定理是图论的一部分，因此为了准确定义，我们需要先定义图、流、割，然后再定义这个定理。
 图 
设  为一个有向图，其中有一個起源点  和一個超匯点 ，代表  是所有流的源頭， 是所有流的終點。这个图的每一条边都有一个容量 ，记做  或者 ，代表着能通过边  的最大流量。

 最大流 
定义： 流量代表一种映射 ，记做 或者 ，代表通过边  的流量。每一条边所通过的流有以下两个限定条件：
 流量限制： 也就是说，一条边上的流量不可以超过它的容量。
 流量守恒： 也就是说，除了源点和汇点以外，进入一个节点的流量等于流出这个节点的流量，节点内不能保存流。
规定在一个图中，流的值是

也就是说，一个图的流是自其源点流出的流量之和，也是向其汇点流入的流量之和。或者说，由源点向汇点移动多少内容，这个图的流就是多少。

最大流问题：计算的最大值，即从到的最大流量。

 最小割 
定义： s-t割  将图  完全劃分为两部分，使得  也就是一侧有源，一侧有汇。 的割集  是  也就是说，一条边当且仅当骑在这个划分方法上，一个节点位于划分出来的源侧，另一个位于汇侧，那么它包含在  里。因此如果  的割集是空集，或者我们把一个割集里的边全都从图中拿走，則 。通俗地说，割集就是一个图的断面，而割则是划分断面的方法。

规定在一个图中，s-t割的容量是
 其中当  时， 为 , 否则为 。
通俗地说，割的容量就是断面中所有边的总容量。

最小 s-t 割问题： 计算  的最小值。即找到一种割法，使割的容量最小。也就是说，找到通过能力最弱的断面。

 主定理 
可以证明一切流都不能超过任何s-t割，所以经过图的最大流就是图的最小割。我们直观上就可以知道，通过能力最弱的断面就是整个网络的最大流量。这个理论把最大流问题和最小割问题联系了起来。

 线性规划公式 
最大流最小割问题可以被看做为一对线性规划對偶问题。

最大流（原问题）最小割（对偶问题）变量   
[每条边一个变量]   
[每条边一个变量]


[每个非源点、非汇点一个变量]目标函数最大化 

[最大化从源点流出的总流量]最小化 

[最小化割中边的总容量]约束条件满足：

[每条边一个约束，每个非源点、非汇点一个约束]满足：

[每条边一个约束]符号约束

最大流的线性规划公式是容易理解的，对于最小割的线性规划公式的理解如下：



最小化目标是使在割中的边最小。

下列限制保证了这些变量可以确保一个合法的割。

 限制 (即 ) 确保了对两个非源点或汇点 u,v, 如果u 在 S中 且 v 在 T中, 那么边 (u,v)一定会被记在割中 ()。
 限制 (即 ) 确保了如果 v 在 T 中, 那么边 (s,v) 一定会被记在割中。
 限制 (即 ) 确保了 u 在 S 中, 那么边 (u,t) 一定会被记在割中。

需要注意的是，这是一个最小化问题，我们不需要确保一条边不在割里，我们只要保证每条应当在割里的边被计算了。

注意到在给定的 s-t 割  中，如果  那么  并且 0 反之。 所以  应该等于 1 并且  应该等于0。由线性规划中的强對偶定理推得最大流最小割問題中的等式，也就是說如果原问题有一个最优解 x*，則对应问题也有一个最优解 y* ，並且两个解相等。

 举例 
右|有框|一个流量等于s-t 割的容量的流网络
上圖是一個網絡，上有流量為 7 的流。令 S 集合和 T 集合分別包含所有白色和灰色的點， 從而形成了一個割集包含圖中虛線的 s-t 割，並且其容量為 7，與流量相同。故由大流最小割定理知，前述的流與 s-t 割皆達到流量及容量的極值。

 应用 

 廣義最大流最小割定理 
額外規定映射 為點的容量，記做 c(v)，使得一個流 f 不只要滿足邊的流量限制與流量守恆，還要滿足點的流量限制，即

換句話說，流過 v 點的總流量不能超過 v 的容量 c(v)。一個 s-t 割 的定義為一個包含一些點和邊的集合，滿足與任一條由 s 到 t 的路徑皆不互斥。並且 s-t 割的容量 定義成所有點和邊的容量總和。

在此定義之下，廣義最大流最小割定理的敘仍為流量的最大值等於所有 s-t 割的容量最小值。

 門格爾定理 
不共邊路徑問題為給定無向圖  及兩頂點 s、t，求從 s 到 t 彼此沒有共同邊的路徑數量的最大值。

門格爾定理的敘述為從 s 到 t 彼此沒有共同邊的路徑數量的最大值等於在所有 G 的 s-t 割(以原本的定義)中，頂點分別在不同集合的邊數的最小值。

 計畫選擇問題 

計畫選擇問題敘述如下：當下有 n 個計畫 可以被實施、m 種設備  可以被購買，要執行計畫必須擁有該計畫要求的設備，執行計畫 可獲得   的收益，但購買設備   要支付  的費用。如何選擇執行計畫並購買所需設備以獲得淨利的最大值？

設 P 為不被執行的計畫的集合，Q 為所購買的設備，則問題變成求最大值

注意到 與 P、Q 的選擇無關，故只需求後兩項和的最小值，即

現在考慮一個網絡，起源点 s 連接到 n 個點 ，邊的容量分別為 ，超匯点 t 連接到 m 個點 ，邊的容量分別為 ，若執行任務 需購買設備   ，則在 、 之間連上一條容量為無限大的邊，若不需購買設備，則不連上邊。則  對應到一個 s-t 割的容量，其中的兩個集合是要執行的計畫與要購買的設備和它的餘集，也就是

在此，，。於是，原問題轉成求該圖的最大流問題，並且可以藉由各種算法求得其極值。

以下給出一個計畫選擇問題的例子，右圖是該問題對應到的網絡。
計畫收入  設備價格  備註 1 100  200執行計畫  須購買設備 、。 2 200  100執行計畫  須購買設備 。 3 150  50執行計畫  須購買設備 。
該網絡的最小 s-t 割是選擇計畫 、 與設備 、，容量為 250。三個計劃的總收益是 450，因此最大淨利為 450 − 250 = 200。

以上解法可以理解為將計畫所給予的收益流過所需設備，如果無法流滿設備至 t 的邊，代表執行計畫不合成本，最小割將選擇穿過 s 到計畫的邊而非穿過設備到 t 的邊。

 影像分割問題 
缩略图|Each black node denotes a pixel.
設原圖有 n 像素，想要把該圖分割為前景和背景，並且將 i 像素歸類為前景有效益 ，歸類為背景有效益 ，但是若 i、j 像素相鄰且被歸類為不同塊，則會減少  的效益。求將該圖分割為前後景的最有效益方法。

令 P 為前景的集合，Q 為背景的集合，於是問題轉化成求最大值

因為 、 的總合是與 P、Q的選取無關，因此等價於求以下最小值

以上的最小值問題可以被描述為一個網絡的最小割問題，其中該網絡如右圖，以橘點為起源點；紫點為超匯點。各個像素被描述為網絡的頂點，起源點至第 i 個像素連上一條容量為  的有向邊；第 i 個像素至超匯點連上一條容量為  的有向邊。相鄰的像素 i、j 之間連上來回兩條容量為  的有向邊。則一個 s-t 割代表一種將部分像素歸類為前景 P、其餘歸類為背景 Q 的安排。

 历史 
最大流最小割问题最早在1956年被P. Elias, A. Feinstein，和 C.E. Shannon 证明P. Elias, A. Feinstein, and C. E. Shannon, A note on the maximum flow through a network, IRE. Transactions on Information Theory, 2, 4 (1956), 117–119， 并且L.R. Ford, Jr. 和 D.R. Fulkerson 也在同年证明了该定理。

 证明 
同之前的設定， 是一個網絡(有向圖) ，s 點和 t 點分別為 G 的起源點和超匯點。

將所有流考慮成一個歐式空間的有界閉子集，滿足流量限制與流量守恆，而流量是一個連續函數，因此有極大值 |f| 。

設 f 達到最大流，令  是 f 的殘留網絡，定義

 A：在  中可以從 s 出發到達的點
 Ac：A 以外的點，即 V − A

換句話說，v∈A 若且唯若 s 可以流出更多流量到 v。

我們宣稱 ，其中該 s-t 割的容量定義為 
 .
由於  的大小等於所有流出集合 A 的流量總和減所有流入集合 A 的流量總和，故 ，並且等號成立若且唯若
 所有從 A 流向 Ac 的邊流量均已達飽和。
 所有從 Ac 流向 A 的邊流量均為 0。
我們用反證法分別證明以上兩點：
 假設存在從 A 流向 Ac  的邊  並未達到飽和，即 。因此，可以從 x 流更多的流量到 y，(x,y) 是 Gf 的一條邊。由 x∈A 知 Gf 圖中有一條中的路徑從 s 到 x，其中只經過 A 中的點， 所以 y∈A，產生矛盾。是故所有從 A 流向 Ac 的邊流量均已達飽和。 
 假設存在從 Ac  流向 A 的邊  其流量不為 0，即 。因此，可以從 y 流更少的流量到 x，(x,y) 是 Gf 的一條邊。由 x∈A 知 Gf 圖中有一條中的路徑從 s 到 x，其中只經過 A 中的點， 所以 y∈A，產生矛盾。是故所有從 Ac 流向 A 的邊流量均為 0。

於是，聲稱得證。

由於流量恆不超過容量，|f| 是容量的下界，所以  是容量的最小值，由聲稱知，最大流最小割定理得證。

 参见 
 线性规划
 最大流
 最小割
 网络流
 Edmonds–Karp 算法
 Ford–Fulkerson 算法
 近似最大流最小割定理

 参考文献 




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