匹配渐近展开法

匹配渐近展开法（）是数学中用于获得方程或方程组高精度近似解的一种常用方法，尤其常用于奇异摄动微分方程的求解。

对于许多奇异摄动问题而言，可以将定义域分成两个或多个部分。其中一部分（通常是范围最大的部分）可以通过正则摄动理论获得渐近展开级数解。然而这个解在其他较小的部分则十分不精确。如果这些部分处于定义域边界上被称为边界层，处于定义域中间则称为内层。可以将边界层或内层内的求解问题当作一个独立的摄动问题处理，以获得相应的“内解”（之前通过正则摄动获得的则称为“外解”）。最后再将内解与外解通过“匹配”的办法合并，以得到在整个定义域内都适用的近似解。

 示例 
考虑边值问题

其中为时间的函数，定义域从0到1，边界条件为与。是一个小参数，满足。

 外解（t = O(1)） 
由十分小，故可以当作正则摄动问题处理。取，有

该方程的解为

其中为常数。使用边界条件，有。而如果使用另一个边界条件，则有。这说明该解不可能满足所有边界条件，意味着的假设不能在整个定义域中都适用（即奇异摄动问题）。于是，我们能够知道定义域中必定存在一个边界层，其中与自变量相比不能再忽略不计。这个边界层位于一侧。于是我们使用另一个边界条件得到适用于边界层以外区域的外解。

 内解（t = O(ε））
在边界层之内，与都很小，但它们大小相若，故可以定义一个新的O(1) 时间变量。于是原先的边值问题可以改写为

将两边同乘再取，得到

该方程的解为

其中与为常数。使用边界层内的边界条件，得到。故内解为

 匹配 
由于对于中间大小的（）需同时满足内解和外解，故可以令内解的外极限与外解的内极限相等，即。由此得到常数。

 合并 
最后，将匹配好的内解与外解合并，以得到适用于整个定义域的近似解。具体而言，即是将内解与外解相加，再减去内、外解重合部分的值（即外解的内极限，或内解的外极限）。此问题中，重合部分的值为。故可以得到原边值问题的最终近似解为

 参考文献 

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