费马伪素数

费马伪素数（）是指满足费马小定理的伪素数，也是最重要的一类伪素数。

其定义是：对自然数和一个与其互素的自然数a，如果整除 ax-1 - 1，则称是一个以a为底的费马伪素数或者关于a的费马伪素数。最小的费马伪素数是341（=11×31，关于2）。如果关于任何与其互素的数都是费马伪素数，则称是绝对伪素数（或卡邁克爾數，来自找到第一个绝对伪素数的数学家羅伯特·丹尼·卡邁克爾）。最小的绝对伪素数是561。

有人已经证明了费马伪素数的个数是无穷的。有一位数学家如此评论：“对于素数，费马小定理肯定是正确的；但他没说在合数中就不正确。”事实上，费马小定理给出的是关于素数判定的必要不充分条件。

另外，若:不是質數（如下表中的情況），則它就一定是偽質數。
這些當中包含了所有的費馬合數（當n=2k），梅森合數(當n=p)及瓦格斯塔夫合數（當n=2p）

分圓多項式階數n偽質數112047=23x89238388607=47x178481251082401=601x1801283277=29x11329536870911=233x1103x2089358727391=71x122921364033=37x10937137438953471=223x616318177399588151=79x121369

 费马伪素数年表 
 1819年，萨鲁斯（Sarrus）发现第一个伪素数341
 1903年，马洛（Malo）证明：若n为伪素数，则也是一个伪素数，从而肯定了伪素数的个数是无穷的。
 1950年，发现第一个偶伪素数 。
 1951年，皮格（Beeger）证明了存在无限多个偶伪素数。

 以2为底的前50个费马伪素数 

n  n  n  n  n 1 341 =  11 2821 =  21 8481 =  31 15709 = 23 · 683 41 30121 = 7 · 13 · 3312 561 = 3 · 11 · 17 12 3277 = 29 · 113 22 8911 = 7 · 19 · 67 32 15841 = 7 · 31 · 73 42 30889 = 17 · 23 · 793 645 = 3 · 5 · 43 13 4033 = 37 · 109 23 10261 = 31 · 331 33 16705 = 5 · 13 · 257 43 31417 = 89 · 3534 1105 = 5 · 13 · 17 14 4369 = 17 · 257 24 10585 = 5 · 29 · 73 34 18705 = 3 · 5 · 29 · 43 44 31609 = 73 · 4335 1387 = 19 · 73 15 4371 = 3 · 31 · 47 25 11305 = 5 · 7 · 17 · 19 35 18721 = 97 · 193 45 31621 = 103 · 3076 1729 = 7 · 13 · 19 16 4681 = 31 · 151 26 12801 = 3 · 17 · 251 36 19951 = 71 · 281 46 33153 = 3 · 43 · 2577 1905 = 3 · 5 · 127  17 5461 = 43 · 127 27 13741 = 7 · 13 · 151 37 23001 = 3 · 11 · 17 · 41 47 34945 = 5 · 29 · 2418 2047 = 23 · 89 18 6601 = 7 · 23 · 41 28 13747 = 59 · 233 38 23377 = 97 · 241 48 35333 = 89 · 3979 2465 = 5 · 17 · 29 19 7957 = 73 · 109 29 13981 = 11 · 31 · 41 39 25761 = 3 · 31 · 277 49 39865 = 5 · 7 · 17 · 6710 2701 = 37 · 73 20 8321 = 53 · 157 30 14491 = 43 · 337 40 29341 = 13 · 37 · 61 50 41041 = 7 · 11 · 13 · 41

 以任意整数为底的最小费马伪素数 

 a 最小的伪素数 a 最小的伪素数 a 最小的伪素数 a 最小的伪素数 1 4 =  51 65 = 5 · 13 101 175 =  151 175 =  2 341 = 11 · 31 52 85 = 5 · 17 102 133 = 7 · 19 152 153 =  3 91 = 7 · 13 53 65 = 5 · 13 103 133 = 7 · 19 153 209 = 11 · 19 4 15 = 3 · 5 54 55 = 5 · 11 104 105 = 3 · 5 · 7 154 155 = 5 · 31 5 124 =  55 63 =  105 451 = 11 · 41 155 231 = 3 · 7 · 11 6 35 = 5 · 7 56 57 = 3 · 19 106 133 = 7 · 19 156 217 = 7 · 31 7 25 =  57 65 = 5 · 13 107 133 = 7 · 19 157 186 = 2 · 3 · 31 8 9 =  58 133 = 7 · 19 108 341 = 11 · 31 158 159 = 3 · 53 9 28 =  59 87 = 3 · 29 109 117 =  159 247 = 13 · 19 10 33 = 3 · 11 60 341 = 11 · 31 110 111 = 3 · 37 160 161 = 7 · 23 11 15 = 3 · 5 61 91 = 7 · 13 111 190 = 2 · 5 · 19 161 190 = 2 · 5 · 19 12 65 = 5 · 13 62 63 =  112 121 =  162 481 = 13 · 37 13 21 = 3 · 7 63 341 = 11 · 31 113 133 = 7 · 19 163 186 =  14 15 = 3 · 5 64 65 = 5 · 13 114 115 = 5 · 23 164 165 =  15 341 = 11 · 31 65 112 =  115 133 = 7 · 19 165 172 =  16 51 = 3 · 17 66 91 = 7 · 13 116 117 =  166 301 = 7 · 43 17 45 =  67 85 = 5 · 17 117 145 = 5 · 29 167 231 =  18 25 =  68 69 = 3 · 23 118 119 = 7 · 17 168 169 =  19 45 =  69 85 = 5 · 17 119 177 = 3 · 59 169 231 = 3 · 7 · 11 20 21 = 3 · 7 70 169 =  120 121 =  170 171 =  21 55 = 5 · 11 71 105 =  121 133 = 7 · 19 171 215 = 5 · 43 22 69 = 3 · 23 72 85 = 5 · 17 122 123 = 3 · 41 172 247 = 13 · 19 23 33 = 3 · 11 73 111 = 3 · 37 123 217 = 7 · 31 173 205 = 5 · 41 24 25 =  74 75 =  124 125 =  174 175 =  25 28 =  75 91 = 7 · 13 125 133 = 7 · 19 175 319 = 11 · 29 26 27 =  76 77 = 7 · 11 126 247 = 13 · 19 176 177 = 3 · 59 27 65 = 5 · 13 77 247 = 13 · 19 127 153 =  177 196 =  28 45 =  78 341 = 11 · 31 128 129 = 3 · 43 178 247 = 13 · 19 29 35 = 5 · 7 79 91 = 7 · 13 129 217 = 7 · 31 179 185 = 5 · 37 30 49 =  80 81 =  130 217 = 7 · 31 180 217 = 7 · 31 31 49 =  81  85 = 5 · 17 131 143 = 11 · 13 181 195 =  32 33 = 3 · 11 82 91 = 7 · 13 132 133 = 7 · 19 182 183 = 3 · 61 33 85 = 5 · 17 83 105 = 3 · 5 · 7 133 145 = 5 · 29 183 221 = 13 · 17 34 35 = 5 · 7 84 85 = 5 · 17 134 135 =  184 185 = 5 · 37 35 51 = 3 · 17 85 129 = 3 · 43 135 221 = 13 · 17 185 217 = 7 · 31 36 91 = 7 · 13 86 87 = 3 · 29 136 265 = 5 · 53 186 187 = 11 · 17 37 45 =  87 91 = 7 · 13 137 148 =  187 217 = 7 · 31 38 39 = 3 · 13 88 91 = 7 · 13 138 259 = 7 · 37 188 189 =  39 95 = 5 · 19 89 99 =  139 161 = 7 · 23 189 235 = 5 · 47 40 91 = 7 · 13 90 91 = 7 · 13 140 141 = 3 · 47 190 231 = 3 · 7 · 11 41 105 = 3 · 5 · 7 91 115 = 5 · 23 141 355 = 5 · 71 191 217 = 7 · 31 42 205 = 5 · 41 92 93 = 3 · 31 142 143 = 11 · 13 192 217 = 7 · 31 43 77 = 7 · 11 93 301 = 7 · 43 143 213 = 3 · 71 193 276 =  44 45 =  94 95 = 5 · 19 144 145 = 5 · 29 194 195 = 3 · 5 · 13 45 76 =  95 141 = 3 · 47 145 153 =  195 259 = 7 · 37 46 133 = 7 · 19 96 133 = 7 · 19 146 147 =  196 205 = 5 · 41 47 65 = 5 · 13 97 105 = 3 · 5 · 7 147 169 =  197 231 = 3 · 7 · 11 48 49 =  98 99 =  148 231 = 3 · 7 · 11 198 247 = 13 · 19 49 66 = 2 · 3 · 11 99 145 = 5 · 29 149 175 =  199 225 =  50 51 = 3 · 17 100 153 =  150 169 =  200 201 = 3 · 67

 参见 
 卡迈克尔数
 欧拉伪素数
 欧拉－雅可比伪素数

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