三面形

三面形（英語：Trigonal hosohedron、Triangular hosohedron或3-hosohedron）是以三角形為基底的多面形，表示三個鑲嵌在球面上的，為球面三面體的一種，由3個面、3條邊和2個頂點組成，在施萊夫利符號中利用{2,3}來表示，其對偶多面體是三角形二面體。

 性質 
三面形是一個退化的多面體，其無法擁有體積。三面形由3個二角形組成，每個頂點都是3個二角形的公共頂點。正三面形的每個面都是正二角形，且每個頂點都是3個正二角形的公共頂點，因此正三面形也可以視為一種正多面體，但是因為其已退化，因此不會與柏拉圖立體一同討論，但可以視為一種正則地區圖。

三面形具有 D3h, [2,3], (*223) 的對稱性和 D3, [2,3]+ 的旋轉對稱性，且階數為12，在考克斯特符號中用表示。

三面形可以經由一角形二面體透過截角變換而得一角形二面體由2個一角形、1條邊和1個頂點組成，頂點圖為二角形，因此截角變換後會生成二角形面，並在與單一頂點相鄰的單一邊之兩側各形成一個頂點，將原有的2個一角形截角二角形，再加上截角產生的新二角形，其截角變換的像將會有3條邊、3個二角形和2個頂點，此結構即為三面形。。

三面形可以截角為三角柱，也可以交錯截角為正四面體。

 皮特里三面形 
三面形的皮特里多邊形是一種具有6條邊和6個頂點的退化扭歪多邊形，其邊兩兩共用，六個頂點每三個互相共用。三面形的皮特里對偶由一個前述的六邊形組成，並且該六邊形在每個頂點的周圍，以正則地區圖的模式自我相鄰3次，因此在施萊夫利符號中可以用{6,3}(1,1)來表示。

三面形的皮特里對偶共由1個面、3條邊和2個頂點組成，可以視為一面體的一種，是一個可定向曲面，作為正則地區圖可以具象化為一種環形多面體，在施萊夫利符號中表示為{6,3}1,0。
+ 環形多面體的展開圖150px{6,3}1,0由1個面、3條稜和2個頂點組成(v:2, e:3, f:1)

 對偶多面體 
三面形的對偶多面體為三角形二面體（Triangular dihedron或Trigonal dihedron），又稱為雙三角形（di-triangle），是一種多邊形二面體，由2個三角形面、三條邊和三個頂點組成。期兩個三角形已背對背的方式互相連接，與截半三面形類似，但沒有像截半三面形那樣在邊與邊的連接處存在兩角形（三角形二面體截半的結果也是截半三面形）。

正三角形二面體是指由兩個正三角形背對背貼合所形成的幾何體，由於其組成面皆為正多邊形，且所有邊等長、所有角等角，因此可以視為一種退化的正多面體，其在施萊夫利符號中以{3,2}表示，代表由2個施萊夫利符號表示為{3}的正三角形組成。

做為一個球面鑲嵌，球面的正三角形二面體由2個球形三角形組成，其在球面的大圓上共用3個相同的頂點；球面正三角形二面體的每個正三角形面都恰好填滿了一個半球。這兩個球面正三角形在球面的大圓赤道上等距地分布。

三角形二面體的皮特里對偶為六邊形二面體半形，即六邊形二面體的多面體半形，這意味著三角形二面體的皮特里多邊形為六邊形，該六邊形的頂點兩兩共用，或可以是圍繞三角形兩圈構成的六邊形。

 截半三面形 
截半三面形是指三面形經過截半變換後的結果，即三面形節去所有頂點至邊的中點。所形成的立體由2個三角形截面和3個二角形原始面組成。2個三角形面以類似多邊形二面體的方式貼合，而3個二角形則位於貼合邊上，圍繞三角形面一圈，類似於一串香腸串的樣式，因此又稱為三角香腸面形（3-lucanicohedron）。

截半三面形共由5個面、6條邊和3個頂點組成，在其5個面中有2個三角形面和3個二角形面，其3個頂點皆為2個二角形和2個三角形的公共頂點。由於截半三面形由兩種面組成（二角形和三角形），因此其不算是正則地區圖，僅能算做擬正則地區圖。截半三面形也是三角形二面體經過截半變換後的結果。
 截角三角形二面體 
截角三角形二面體是一個與截半三面形類似的幾何體，其同樣有3個二角形面，但兩個三角形面變為兩個六邊形面，六邊形面同樣背對背貼合，3個二角形面交錯地分布在六邊形的邊上的貼和處，無二角形面的六邊形-六邊形貼和處則是直接貼合，因此其頂點圖變為兩個六邊形和一個二角形的公共頂點。
150px截角三角形二面體150px截半三面形

 相關多面體 
三面形是三角形二面體的對偶多面體，因此與三角形二面體具有相同的對稱性，其可以衍生出一些相關的多面體：

+ 正多面形系列球面鑲嵌歐式鑲嵌仿緊空間雙曲鑲嵌非緊空間123456789101112...∞一面形二面形三面形四面形五面形六面形七面形八面形九面形十面形十一面形十二面形無限面形超無限面形50px50px50px50px50px50px50px50px50px50px50px50px100px80px

 參見 
多面形
三面體
三角形

 註釋 

 參考文獻 

Category:镶嵌
Category:正多面體