開爾文環流定理

在流體動力學上，開爾文環流定理（，由第一代開爾文男爵威廉·湯姆森於1869年發表，因此以他命名）描述在徹體力保守的正壓理想流體中閉合曲線（包圍相同的流體元）的環量在流體運動時並不會隨時間而改變Kundu, P and Cohen, I: Fluid Mechanics, page 130. Academic Press 2002。其數學描述為

其中為材料圍線的環流。用更簡單的話來說，這條定理所指的是，若觀察閉合圍線並注意它一段時間（注意所有流體元的運動）的話，則始終兩者間的環流相等。

本定理在有黏性應力、非保守徹體力（例如科里奥利力）或非正壓的壓力－密度關係的情況下並不成立。

 數學證明 

材料圍線的環流 的定義為：

其中u為速度向量，ds為沿着閉合圍線的單元。

徹體力保守的非黏性流體的主宰方程式為

其中D/Dt為實質導數，ρ為流體密度，p為密度，以及Φ為徹體力的勢。上式為帶徹體力的歐拉方程。

正壓性條件意味着密度是壓力的函數，且為其唯一自變量，即。

取環流的實質導數，得：

把主宰方程式代入第一項並使用斯托克斯定理，得：

最後的等式是源自，它是正壓性的結果。同時亦使用了任何函數的梯度的旋度皆為零這一事實。

已知材料線元的時間進化由下式給出（可由實質導數的定義求得）

因此

使用交換律後再使用。而最後的等式則使用了斯托克斯定理。

由於第一項及第二項皆為零，得

 参见 
 亥姆霍兹定理 (流体力学)

 參考資料 

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Category:流体动力学
Category:方程