扭歪多面體

在幾何學中，扭歪多面體（）是指頂點、邊或面並非全部位於同一個三維空間中的多面體，即扭歪多邊形的高一維類比，因此其無法找到一個唯一的內部區域以及其體積。

正扭歪多面體代表每個面全等、每條邊等長、每個角都相等的扭歪多面體，是一系列可能具有非平面的面或頂點圖。考克斯特的研究著重於具有扭歪頂點圖新的四維多面體，後期多由研究有扭歪面的形狀。

具有無限多個面的扭歪多面體稱為扭歪無限面體。除了扭歪無限面體之外的扭歪多面體僅能存在於四維或以上的空間。

 歷史 
按照考克斯特所言，1926年時，約翰·弗林德斯·皮特里將扭歪多邊形（非平面多邊形）的概念廣義化。

考克斯特針對這種圖提出一個施萊夫利符號的擴展符號 ，其中以  表示其頂點：每個頂點都是  個  邊形的公共頂點。他們的頂點圖是扭歪多邊形，以鋸齒的形式存在於兩個面中。

能表示為  的正扭歪多面體存在以下等式：

第一系列的  正扭歪多面體與五個正多面體和一個星形正多面體相關：
{l, m | n}面邊頂點p多面體對稱性階數 {3,3|3} = {3,3}  464  0 正四面體12 {3,4|4} = {3,4} 8126  0 正八面體24 {4,3|4} = {4,3} 6128  0 立方體24 {3,5|5} = {3,5} 203012  0正二十面體60 {5,3|5} = {5,3} 123020  0 正十二面體60 {5,5|3} = {5,5/2} 123012  4 大十二面體60

 四維的正扭歪多面體 
 A4 考克斯特平面投影150px150px{4, 6 | 3}{6, 4 | 3}(60條邊、20個頂點)過截角五胞體(60條邊、30個頂點) F4 考克斯特平面投影150px150px{4, 8 | 3}{8, 4 | 3}(576條邊、144個頂點)(576條邊、288個頂點)一些位於半正多胞體中的四維扭歪多面體的投影
考克斯特在他的論文《三維和四維空間的正扭歪多面體及其類似物》Regular Skew Polyhedra in three and four dimensions and their topological analogues, Proceedings of the London Mathematics Society, Ser. 2, Vol 43, 1937.中列出了較多的一系列扭歪多面體。
+ 偶數皆扭歪多面體{l, m | n}面邊頂點p結構對稱性階數相關半正多胞體 {4,4| 3}  91891D3xD3[</span>[3,2,3]+]93-3 超柱體 {4,4| 4}  1632161D4xD4[</span>[4,2,4]+]164-4 超柱體 或 超立方體 {4,4| 5}  2550251D5xD5[</span>[5,2,5]+]255-5 超柱體 {4,4| 6}  3672361D6xD6[</span>[6,2,6]+]366-6 超柱體 {4,4| n}  n22n2n21DnxDn[</span>[n,2,n]+]n2n-n 超柱體 {4,6| 3} 3060206S5[</span>[3,3,3]+]60 {6,4| 3} 2060306S5[</span>[3,3,3]+]60過截角五胞體 {4,8| 3}  28857614473[</span>[3,4,3]+]576 {8,4| 3}  14457628873[</span>[3,4,3]+]576

+ 五角星形的扭歪多面體{l, m | n}面邊頂點p結構對稱性階數相關的多胞體 {4,5| 5}  901807210A6[</span>[5/2,5,5/2]+]360截半 {5,4| 5}  721809010A6[</span>[5/2,5,5/2]+]360過截角

 參見 
扭歪多邊形

 參考文獻 

 Peter McMullen, Four-Dimensional Regular Polyhedra, Discrete & Computational Geometry September 2007, Volume 38, Issue 2, pp 355-387
Coxeter, Regular Polytopes, Third edition, (1973), Dover edition, ISBN 0-486-61480-8
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 (Paper 2) H.S.M. Coxeter, "The Regular Sponges, or Skew Polyhedra", Scripta Mathematica 6 (1939) 240-244.
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 (Paper 23) H.S.M. Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II, [Math. Zeit. 188 (1985) 559–591]
Coxeter, The Beauty of Geometry: Twelve Essays, Dover Publications, 1999, ISBN 0-486-40919-8 
 Coxeter, H. S. M. Regular Skew Polyhedra in Three and Four Dimensions. Proc. London Math. Soc. 43, 33-62, 1937.
Garner, C. W. L. Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space. Canad. J. Math. 19, 1179-1186, 1967.

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