解析信号

在数学和信号处理中，解析信号（）是没有负频率分量的复值函数。<ref>``Mathematics of the Discrete Fourier Transform (DFT), with Audio Applications --- Second Edition, by Julius O. Smith III, W3K Publishing, 2007, ISBN 978-0-9745607-4-8. Copyright © 2014-04-21 by Julius O. Smith III
Center for Computer Research in Music and Acoustics (CCRMA), Stanford University, https://ccrma.stanford.edu/~jos/r320/Analytic_Signals_Hilbert_Transform.html [7/16/2014 1:07:57 PM]</ref> 解析信号的实部和虚部是由希爾伯特轉換相关联的实值函数。

实值函数的解析表示是解析信号，包含原始函数和它的希尔伯特变换。这种表示促进了许多数学变换的发展。基本的想法是，由于频谱的埃尔米特对称，实值函数的傅里叶变换（或频谱）的负频率成分是多余的。若是不介意处理复值函数的话，这些负频率分量可以丢弃而不损失信息。这使得函数的特定属性更易理解，并促进了调制和解调技术的衍生，如单边带。只要操作的函数没有负频率分量（也就是它仍是“解析函数”），从复数转换回实数就只需要丢弃虚部。解析表示是向量概念的一个推广：Bracewell, Ron. The Fourier Transform and Its Applications. McGraw-Hill, 1965. p269 向量限制在时不变的振幅、相位和频率，解析信号允许有时变参数。

定义
若  是一个实值函数，其傅里叶变换为 ，為一於  埃尔米特对称之函數：
   其中，为  的复共轭。

函数：

其中：
 是单位阶跃函数，
 是符号函数，
仅包含  的非负频率分量。而且由于  的埃尔米特对称性，该运算是可逆的：

 的解析信号是  的傅里叶逆变换：

其中
 是  的希爾伯特轉換；
 是卷积符号；
 是虛數單位。

例子
例1
   其中  

于是：

  第三个等式为欧拉公式。

欧拉公式的一个推论是  一般来说，简单正弦曲线的解析表示是通过用复指数表示它，丢弃负频率分量，并对正频率分量加倍得到的。正弦曲线之和的解析表示等于单个正弦波的解析表示之和。

例2
这里我们使用欧拉公式来识别并丢弃负频率。

于是：

例3
这是使用希尔伯特变换方法去除负频率分量的另一个例子。我们注意到，对于复值函数 ，没有什么能阻止我们计算 。但它可能不是一种可逆的表示，因为原频谱不总是对称的。所以除了此例以外，一般讨论都假设  为实值函数。

, 其中 .

于是：

负频率分量
由于 ，恢复负频率分量就是简简单单丢弃  这件事可能与直觉不太一致。我们还可以注意到复共轭  仅由负频率分量构成。因此  恢复了被减弱的正频率分量。

应用
包络和瞬时相位
解析信号也可以表示在其随时间变化的幅度和相位（极坐标）：

其中：
 称作瞬时振幅或；
 称作瞬时相位。

在附图中，蓝色曲线描绘 ，红色曲线描绘对应的 。

解缠的瞬时相位的时间导数的单位为rad/s，称作瞬时角频率：

因此，瞬時頻率（单位赫兹）为：
  B. Boashash, "Estimating and Interpreting the Instantaneous Frequency of a Signal-Part I: Fundamentals", Proceedings of the IEEE, Vol. 80, No. 4, pp. 519-538, April 1992

瞬时振幅、瞬时相位与频率在一些应用中用于测量和检测的信号的局部特征。信号的解析表示的另一个应用与调制信号的解调有关。极坐标方便将振幅調變和相位（或频率）调制的影响分开，对解调某些种类的信号很有效。

  复包络/基带
解析信号通常都会在频率上移位（下转换）到 0 Hz，可能会产生[非对称]负频率分量：

其中  是任意参考角频率。

这个函数有不同的名称，如复包络和复基带。复包络不是唯一的；它是由  的选取决定的。这个概念通常用于处理。如果  是调制信号， 可能会等于它的。

在其他情况下， 选在所需通带的中间。因此简单的实系数低通滤波器就可以去除感兴趣的部分。另一个动机是减少最高频率，从而降低最小的无混叠采样率。频移不加大复信号表示的数学处理难度。因此从这个意义上说，下转换的信号仍然是解析信号。但是恢复实值表示不再是简简单单提取实部的问题了。为了避免混疊可能需要上转换，若信号已被（离散时间）采样，还可能需要插值（升採樣）。

若选取的  大于  的最高频率，则  没有正频率。在这种情况下，提取实部并恢复它们，但顺序要相反；低频分量现在变为高频分量，反之亦然。这可用于解调一种叫做下边带的单边带信号。

参考频率的其他选择：

有时  的选取是要最小化

另外，  选取还可以是要最小化线性逼近解缠的瞬时相位  的均方误差：

再或者（对最佳 ）：

在信号处理领域，维格纳–威利分布定义中需要解析信号，因此该方法在实际应用中具有理想特性。B. Boashash, “Notes on the use of the Wigner distribution for time frequency signal analysis”, IEEE Trans. on Acoustics, Speech, and Signal Processing , vol. 26, no. 9, 1987

有时复包络与复振幅同义；
其他时候它作为一种时间无关的推广形式。 它们的关系并不像实值的情形那样；变化的产生恒定的振幅。

参见
希爾伯特轉換
负频率

应用
单边带调制

因果滤波器

注释

参考文献

延伸阅读
Leon Cohen, Time-frequency analysis, Prentice Hall, Upper Saddle River, 1995.
Frederick W. King, Hilbert Transforms, vol. II, Cambridge University Press, Cambridge, 2009.
B. Boashash, Time-Frequency Signal Analysis and Processing: A Comprehensive Reference'', Elsevier Science, Oxford, 2003.

外部链接
Analytic Signals and Hilbert Transform Filters 

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