正扭歪無限面體

在幾何學中，正扭歪無限面體（），又稱扭歪正多面體（）對於此主題（無限多個面的扭歪多面體），將之稱為「扭歪正多面體」可能會有歧義，因為非無限多面的扭歪多面體也可能是正多面體，例如正多面體#皮特里對偶。是一種頂點並非全部共面的正無限面體，即每個面都全等、每個角也相等的扭歪無限面體。通常扭歪無限面體會具有正扭歪的面或扭歪的頂點圖。

 歷史 
關於考克斯特，1926年時，約翰·弗林德斯·皮特里將扭歪多邊形（非平面多邊形）的概念推廣到四維空間的扭歪多面體和三維空間的扭歪無限面體。

考克斯特找到了三種形式，他們具有平的面和扭歪的頂點圖，兩者彼此互補。它們都可以用施萊夫利符號的擴展符號{l,m|n}來表示。這個擴展符號{l,m|n}表示每個頂點都是個正邊形的公共頂點，且存在正邊形的空洞。

若一扭歪無限面體是一個正扭歪無限面體，則其施萊夫利符號存在下列等式：
 2 sin(/l) · sin(/m) = cos(/n)

 三維空間的正扭歪無限面體 
三維空間中有三種扭歪無限面體，分別為四角六片四角孔扭歪無限面體、六角四片四角孔扭歪無限面體和六角六片三角孔扭歪無限面體。約翰·康威將他們稱為多立方體（）、多八面體（）和、多四面體（），英文中的字首mu-表示「多」（）的意思，其意義分別代表「很多立方體」、「很多八面體」以及「很多四面體」The Symmetry of Things, 2008, Chapter 23 Objects with Primary Symmmetry, Infinite Platonic Polyhedra, pp. 333–335。
四角六片四角孔扭歪無限面體（多立方體、）：{4,6|4}：每個頂點都是六個正方形的公共頂點
六角四片四角孔扭歪無限面體（多八面體、）：{6,4|4}：每個頂點都是四個六邊形的公共頂點
六角六片三角孔扭歪無限面體（多四面體、）：{6,6|3}：每個頂點都是六個六邊形的公共頂點
考克斯特給予這些 {2q,2r|p} 形式的扭歪無限面體與抽象群 (2q,2r|2,p) 同構的[[(p,q,p,r)]+的手徵對稱性。與之相關的堆砌就具有[[(p,q,p,r)]]的擴展對稱性Coxeter, Regular and Semi-Regular Polytopes II 2.34)。
+ 緊空間正扭歪無限面體考克斯特群對稱性無限面體{p,q|l}圖像面{p}洞{l}頂點圖相關堆砌[[4,3,4]][[4,3,4]+] {4,6|4}四角六片四角孔扭歪無限面體多立方體100px動畫100px100px扭歪六邊形100px（黃色部分） t0,3{4,3,4}100px {6,4|4}六角四片四角孔扭歪無限面體多八面體100px動畫100px扭歪四邊形100px（綠色部分）2t{4,3,4}100px[[3[4]]][[3[4]]+] {6,6|3}六角六片三角孔扭歪無限面體多四面體100px動畫100px100px扭歪六邊形100px（綠色部分） 100px

 三維雙曲空間的正扭歪無限面體 
1967年時，C. W. L. Garner以類似於在歐式三維空間尋找正扭歪無限面體的方式，發現了31種雙曲空間中具有扭歪多邊形頂點圖的正扭歪無限面體Garner, C. W. L. Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space. Canad. J. Math. 19, 1179–1186, 1967.   Note: His paper says there are 32, but one is self-dual, leaving 31.。

 14種緊空間正扭歪無限面體 
+ 14種緊空間正扭歪無限面體考克斯特群無限面體{p,q|l}面{p}洞{l}堆砌頂點圖 無限面體{p,q|l}面{p}洞{l}堆砌頂點圖[3,5,3]  {10,4|3}60px60px 60px  {4,10|3}60px60px 60px[5,3,5] {6,4|5}60px60px 60px {4,6|5}60px60px 60px[(4,3,3,3)] {8,6|3}60px60px ct{(4,3,3,3)} 60px {6,8|3}60px60px ct{(3,3,4,3)}60px[(5,3,3,3)] {10,6|3}60px60px ct{(5,3,3,3)}60px{6,10|3}60px60px  ct{(3,3,5,3)}60px[(4,3,4,3)] {8,8|3}60px60px  60px {6,6|4}60px60px 60px[(5,3,4,3)] {8,10|3}60px60px ct{(4,3,5,3)}60px  {10,8|3}60px60px ct{(5,3,4,3)}60px[(5,3,5,3)]{10,10|3}60px60px  60px {6,6|5}60px60px 60px

 17種仿緊空間正扭歪無限面體 
+ 17種仿緊空間正扭歪無限面體考克斯特群無限面體{p,q|l}面{p}洞{l}堆砌頂點圖 無限面體{p,q|l}面{p}洞{l}堆砌頂點圖[4,4,4]  {8,4|4}60px60px  60px {4,8|4}60px60px 60px[3,6,3]  {12,4|3}60px60px  60px {4,12|3}60px60px 60px[6,3,6]  {6,4|6}60px60px  60px {4,6|6}60px60px 60px[(4,4,4,3)]  {8,6|4}60px60px ct{(4,4,3,4)}60px {6,8|4}60px60px ct{(3,4,4,4)}60px[(4,4,4,4)]  {8,8|4}60px60px 60px[(6,3,3,3)]  {12,6|3}60px60px  ct{(6,3,3,3)} 60px {6,12|3}60px60px  ct{(3,3,6,3)}60px[(6,3,4,3)]  {12,8|3}60px60px ct{(6,3,4,3)} 60px {8,12|3}60px60px ct{(4,3,6,3)}60px [(6,3,5,3)]  {12,10|3}60px60px  ct{(6,3,5,3)} 60px {10,12|3}60px60px  ct{(5,3,6,3)}60px [(6,3,6,3)]  {12,12|3}60px60px  ct{(6,3,6,3)} 60px {6,6|6}60px60px  ct{(3,6,3,6)}60px

 參見 
扭歪多面體
扭歪無限面體
無限面體

 註釋 

 參考文獻 

 外部連結 


Category:多面體

Category:正多面體