设计矩阵

设计矩阵（）在统计学和机器学习中，是一组观测结果中的所有解释变量的值构成的矩阵，常用X表示。设计矩阵常用于一些统计模型，如一般线性模型，方差分析中。

定义
通常情况下，设计矩阵的第i行代表第i次观测的结果，第j列代表第j种解释变量。如此一来，线性回归模型就可以用矩阵乘法表达为

其中是设计矩阵，是对应每一种解释变量的系数组成的系数向量，是每一个观测对应的预测值构成的向量。

 例子 

 算数平均 
算数平均的设计矩阵是一个全为1的列向量。

 简单线性回归 
本节给出了一个简单线性回归的例子，其中有一个解释变量和有七个观测值。这七个数据点是。该简单线性回归模型可以表示为：



其中为y轴的截距，是回归线的斜率。该模型可以表示为矩阵形式：



其中设计矩阵中的第一列用以估计y轴的截距，而第二列包含与相应y值相关的x值。

 多元回归 
本节给出了一个有两个协变量（解释变量）的多元回归例子：和。假设数据由七个观测值组成，对于每个待预测的观测值，两个协变量的值和也被观察到。该模型可以表示为：



该模型可以表示为矩阵形式：



右侧的矩阵即为设计矩阵。

 单方向方差分析 
在单方向方差分析中，此时的模型为

限制：为0

参考文献

延伸閲讀

Category:矩陣
Category:回归分析
Category:實驗設計