广义逆阵

广义逆（Generalized inverse），是线性代数中针对矩阵的一种运算。一个矩阵A的广义逆叫做A的广义逆阵，是指具有部份逆矩阵的特性，但是不一定具有逆矩阵的所有特性的另一矩阵。假設一矩陣及另一矩陣，若滿足，則即為的广义逆阵。

广义逆也稱為偽逆（pseudoinverse），有些时候，偽逆特指摩尔－彭若斯广义逆。

建構广义逆阵的目的是針對可逆矩陣以外的矩陣（例如非方陣的矩陣）可以找到一矩陣有一些類似逆矩阵的特性。任意的矩陣都存在广义逆阵，若一矩陣存在逆矩阵，逆矩阵即為其唯一的广义逆阵。有些广义逆阵可以定義在和結合律乘法有關的數學結構（例如半群）中。

提出廣義逆陣的原因
考慮以下的線性方程 

其中為的矩陣，而 ， 的列空間。
若矩陣為可逆矩陣，則即為方程式的解。而若矩陣為可逆矩陣 

假設矩陣不可逆或是，需要一個適合的矩陣使得下式成立

因此為線性系統的解。
而同樣的，階的矩陣也會使下式成立

因此可以用以下的方式定義广义逆阵：假設一個的矩陣，的矩陣若可以使下式成立，矩陣即為的广义逆阵

 產生廣義逆陣 
以下是一種產生廣義逆陣的方式Bapat, Ravindra B. Linear algebra and linear models. Springer Science & Business Media, 2012.springer.com/book ：
 若為其，則為的廣義逆陣，其中為的右逆矩陣，而為的左逆矩陣。
 若，其中及為可逆矩陣，則是的廣義逆陣，其中及均為任意矩陣。
 令為秩為的矩陣，在不失一般性的情形下，令，其中為的可逆子矩陣，則為的廣義逆陣。

广义逆阵的種類
彭若斯條件可以用來定義不同的广义逆阵：針對及
 1.)     2.)    3.)    4.)    

若滿足條件(1.)，即為的广义逆阵，若滿足條件(1.)和(2.)，則為的廣義反身逆陣（generalized reflexive inverse），若四個條件都滿足，則為的摩尔－彭若斯广义逆。

以下是一些其他種類的广义逆阵 
 單邊逆矩陣（左逆矩陣或是右逆矩陣）若矩陣A的維度是且為 满秩，若則用左逆矩陣，若則用右逆矩陣。
 左逆矩陣為，也就是，其中為單位矩陣。
 右逆矩陣為，也就是，其中 為單位矩陣。


 摩尔－彭若斯广义逆

應用
任何一種广义逆阵都可以用來判斷线性方程组是否有解，若有解時列出其所有的解。若以下n × m的線性系統有解存在

其中向量為未知數，向量b為常數，以下是所有的解

其中參數w為任意矩陣，而為的任何一個广义逆阵。解存在的條件若且唯若為其中一個解，也就是若且唯若。

 參考資料







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反元素
摩尔－彭若斯广义逆

 外部連結 
 15A09 数学学科分类标准中對於反矩陣及广义逆阵的分類 search

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