糾纏譜

1935 年，薛丁格在量子力學詮釋的辯論中提出「糾纏」一詞，用來描述一種反直覺的量子現象：兩個粒子即使相隔遙遠，它們的量子狀態仍然緊密連動，彷彿彼此的資訊深深交織在一起。因此，只要測量其中一個粒子，另一個粒子的狀態也會立即受到影響，不論它們相距多遠。這種超越日常經驗的關聯性，成為量子力學最令人驚異的特徵之一。

隨著研究進展，科學家發現量子糾纏並不僅存在於兩個粒子的情況。在量子多體系統中，例如固體中的電子或磁性材料中的自旋，量子糾纏扮演著更為核心的角色。這些系統由大量粒子共同組成，其行為往往無法以單一粒子的直覺來理解，而量子糾纏提供了一種揭示粒子間深層相關性的全新視角。

為了更細緻地分析這些關聯，Li 和 Haldane 在 2008 年提出「糾纏譜」（entanglement spectrum）的概念。它可視為一種糾纏結構的光譜分析，就像光譜可以分解光的成分，糾纏譜則能將量子系統中的糾纏結構拆解成不同的能階成分。相較之下，傳統的「糾纏熵」只能提供糾纏的總量，而糾纏譜能呈現更多細節，使研究者得以更深入理解量子多體系統的內部結構。

數學定義
糾纏譜的數學定義是

其中  是約化密度矩陣的第  個本徵值， 是一個常數，源自所有的本徵值總和必須是 。以下詳細介紹上式數學定義，適合對量子力學的數學工具（例如：bra-ket）有一定熟悉程度的讀者。

討論量子糾纏的時候，經常把一個量子系統區分成 A 和 B 兩個子系統，量子糾纏則是探討 A 和 B 之間的量子關聯性。假設總系統的歸一化波函數可以寫成

雖然總系統的密度矩陣  是一個純態，但是經過部分跡子系統 B 的自由度之後，得到的約化密度矩陣  可能是一個混合態，即 。
這個部分跡「」是指只跡子系統 B 的自由度的操作，其結果仍是一個矩陣，矩陣大小變為子系統 A 的自由度的大小。約化密度矩陣的矩陣元是

可以看出約化密度矩陣是一個厄米矩陣，，所以  的本徵值必為實數。由於  可能是一個混合態，這表示當總系統是這個狀態時，如果測量只發生在子系統 A，則會得到許多不同可能的結果，這些不同的結果相對應的機率就是  的本徵值 ，滿足本徵值方程式 。由於總系統波函數是歸一化的，，可推得所有的本徵值的總和也是歸一化的。

 也有機率的意義。一個只作用在 A 的測量量  的期望值就是把子系統在各個本徵態的期望值 ，和子系統對應在那個本徵態的機率 ，相乘之後的總和，

A 和 B 之間的糾纏的程度大小，可以從  的分布觀察得到，例如：若所有的本徵態的機率皆相等，，則 A 和 B 是最大可能的糾纏狀態。另一個極限是，若只有其中一個本徵值為 1，，其餘本徵值皆為 0，，那麼測量子系統 A 也只會得到一種可能，這表示 A 和 B 沒有任何糾纏。「糾纏熵」正是可以很好的刻畫這樣的性質，不過糾纏熵把本徵值的分佈濃縮成一個數值，糾纏譜則是直接觀察  的本徵值的分佈，然而糾纏譜的定義讓單純的機率分佈和能譜有更巧妙的關聯和意義。

在量子統計力學中，考慮一個正則系綜的混合態密度矩陣 ，其中  是溫度的倒數， 是波茲曼常數，是配分函數， 是系統的哈密顿算符。既然約化密度矩陣  是一個混合態，那麼將它類比成一個熱力學平衡時，溫度為  的熱態 ，其中  用來保證 。這樣定義出一個假想的哈密顿算符 ，這個  是只作用在子系統 A 上的算符，稱為糾纏哈密顿算符(Entanglement Hamiltonian)，而  的本徵值  就稱為糾纏能量，滿足 ，所以糾纏能量和  的關係是  或

糾纏譜就是所有糾纏能量的集合 。

須注意上式中  有時候在文獻中被忽略，因為它只是把整個糾纏譜平移一個常數，若只關心相對的糾纏能量差 ，則此常數很自然的被消除掉。根據糾纏熵和糾纏能量的定義，糾纏熵可視為糾纏能量的期望值加上常數 。

糾纏譜的定義可以不討論系統的哈密顿算符，而且即使系統的哈密顿算符  可寫成子系統的相加以及子系統之間的相互作用，，一般來說糾纏哈密顿算符  也不會正比於子系統 A 的哈密顿算符 ，。

Li-Haldane猜想
Li 和 Haldane 在 2008 年首次提出糾纏能譜的概念，並且在分數量子霍爾系統中計算糾纏能譜，發現糾纏能譜可模擬拓樸系統的邊界態，後來在其他的拓樸系統中也被成功驗證，因此廣泛地被稱為「Li-Haldane猜想」：拓樸系統的基態的糾纏能譜會出現和邊界能態一對一的對應關係。

由於二維拓樸系統的邊界是一個無能隙的一維系統，且可以由共形場論所描述，因此糾纏能譜也能出現共形場論中的能態計數關係，例如整數分拆數列 {1,1,2,3,5,7,...}。也就是說，在糾纏譜中發現明確的能態計數關係就意味著體系統擁有「拓樸序」，因此糾纏譜可望成為拓樸系統的「指紋」。

參考文獻

Category:量子信息
Category:量子力学