懷特黑德定理

在數學領域代數拓撲學的同倫論中，懷特海德定理說，拓撲空間X和Y之間的連續映射f，誘導出所有同倫群之間的同構，則當X和Y是連通，並都有CW複形的同倫型的時候，f是同倫等價。這條定理是J.H.C.懷特海德在1949年的兩篇重要論文中證明，給出理由以他在論文所引入的CW複形概念作為研究對象。

 定理敘述 
更準確而言，假設給定CW複形X和Y，各有基點x和y。給定連續映射

使得f(x) = y。考慮對於n ≥ 1 的誘導同態

在此 πn 對 n ≥ 1 是第n個同倫群。當 n = 0 ，這是道路連通分支間的映射，若假設X和Y是連通的，那麼這映射不具有基点，可以忽略掉。若同態 f* 都是同構，便稱 f 為一個弱同倫等價。懷特海德定理說對於連通CW複形，一個弱同倫等價是一個同倫等價。

有同構同倫群的空間未必是同倫等價
有一點要注意：單單假設對每個n ≥ 1都有πn(X)與πn(Y)同構，並不足以得出X和Y是同倫等價。定理中必需設有映射f : X → Y能同時誘導出所有同倫群的同構。例如令 X= S2 × RP3和Y= RP2 × S3。那麼X和Y有相同的基本群π1，即是Z2，也有相同的萬有覆疊空間，即是S2 × S3；因此它們有同構的同倫群（覆疊空間的投影誘導出對所有n ≥ 2的同倫群πn的同構）。不過，它們的同調群不同（可以從屈內特公式看出）；所以X和Y不是同倫等價。

懷特海德定理對於一般拓撲空間不成立，甚至不對Rn的所有子空間成立。例如，華沙圈（Warsaw circle）是平面的子集，所有的同倫群都是零，但是從華沙圈到一點的映射不是一個同倫等價。將這定理推廣至更一般空間的研究，是形狀理論的一部份。

參考文獻
 J. H. C. Whitehead, Combinatorial homotopy. I., Bull. Amer. Math. Soc., 55 (1949), 213–245
 J. H. C. Whitehead, Combinatorial homotopy. II., Bull. Amer. Math. Soc., 55 (1949), 453–496
 A. Hatcher, Algebraic topology, Cambridge University Press, Cambridge, 2002. xii+544 pp. ISBN 0-521-79160-X and ISBN 0-521-79540-0  (see Theorem 4.5)

Category:同倫論