對偶小波

在數學上，一個對偶小波（）為小波的對偶。一般情形下，在里斯表示定理(Riesz representation theorem)中，由平方可積函數(square integral function)產生的小波級數(wavelet series)具有對偶級數。然而，
對偶級數一般並不是由平方可積函數本身表示。

定義
給一個平方可積函數 , 定義級數  由

給整數 .

這種函數稱為R函數(R-function)，假如的線性展延在上,且假如存在一個正的常數A, B，其中 如下式

對於所有雙無限平方累加(bi-infinite square summable)級數 . 在這裡,  代表平方和範數:

而  代表在 的通常範數(usual norm):

由里斯表示定理(Riesz representation theorem)，存在一個獨特的對偶基底(dual basis)  如下式

為克羅內克函數(Kronecker delta)，而 為在的內積(inner produce)。確實，這裡存在一個對於平方可積函數 f 表示基底的特殊級數表示:

假如這裡存在一個函數  如下式

 稱為對偶小波(dual wavelet)或是小波對偶至ψ(wavelet dual to ψ). 一般來說，對於一些R函數(R-function)ψ,對偶不一定存在。在特別情況 中,這個小波稱為正交小波(orthogonal wavelet)。

要舉一個沒有對偶的R函數(R-function)很簡單。讓 為一個正交小波。然後定義 ，z 為複數.如此一來可以很簡單的表明 ψ 沒有對偶小波。

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 Multiresolution analysis

文獻
 Charles K. Chui, An Introduction to Wavelets (Wavelet Analysis & Its Applications), (1992), Academic Press, San Diego, ISBN 0-12-174584-8

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