线面交点

1. 没有交点；
2. 有且只有一个交点；
3. 有无数个交点。

在解析几何中, 一条直线与一个平面的交点可能是空集、一个点或一条直线。在计算机图形学、运动规划和碰撞检测中，经常需要分析相交类型，以及计算出点坐标或线的方程。

代数形式
空间中一个平面可以表示为点  的集合

其中  是该平面的法线，是平面上任意一点。（表示向量  和  的数量积）

而直线可表示为

其中 是该直线的方向向量，是直线上任意一点，是实数范围内的标量。将直线方程代入平面方程得

展开得

解得 

若 ，则直线与平面平行。此时，如果(，则该直线在平面内，即直线上所有的点都是交点。否则，直线与平面没有交点。

若 ，则直线与平面有且只有一个交点。解得 ，则交点的坐标为

.

参数形式
空间中一条直线可以用一个点和一个给定的方向来描述。则一条直线可以表示为如下点的集合

其中  和  是直线上两个不同的点。

相似地，一个平面可以表示为如下点的集合

其中 ， 是平面上不共线的三个点。

直线和平面的交点可以表示为将直线上的点代入平面方程内，则参数方程如下：

即

用矩阵表示为

可得点的坐标为

若直线与平面平行或在平面内，那么向量 ， 及  是线性独立的，且矩阵为奇异矩阵。

若满足 ，则交点在直线上  与  之间。

若满足

则交点位于平面上 ， 及 所构成的三角形中。

该问题可用矩阵的形式表示解答：

应用
在计算机图形学中的光线追踪算法中，一个面可以被表示为几个平面的集合。一个面的图像可以用光线与每个面的交点表达。在基于视觉的三维重建中（计算机视觉的一个子场），深度通常是由“三角测量法”测算的。

 外部链接 
 Intersections of Lines, Segments and Planes (2D & 3D) from GeomAlgorithms.com 

Category:计算物理学
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