真凸函数

在数学分析， 特别是凸分析与最优化中， 凸函数 f 在扩展实数线上的取值若满足存在 x 使得

同时对所有 x 满足

称被称作真凸函数。 这意味着，若凸函数为“真”， 则其有效域非空，值不为 .。

不满足真条件的凸函数被称作“非真凸函数”。

若函数 g 的负函数  为真凸函数， 则 g 为“真凹函数”。

 性质 

对于Rn 上任意真凸函数f， 存在Rn上的 b 与实数 β， 使得所有 x满足

两个真凸函数的和未必保持真与凸的性质。举例来说， 假设集合  与  均为向量空间 X 上的非空 凸集， 那么特征函数  和  为真凸函数， 但是当  时，  始终等于 .

两个真凸函数的卷积下确界为凸函数， 但未必是真凸。.

 参考文献 

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