對數凸函數

對數凸函數此條目中「凸函數」的定義是指其下方圖是凸集，和凸函數條目中的定義不同。或超凸函數Kingman, J.F.C.  1961. A convexity property of positive matrices. Quart. J. Math. Oxford (2) 12,283-284.是指一函數f，其 （函數f取對數後的數值）仍為凸函數，其原函數即為對數凸函數。
定義
令是实数向量空间內的凸集，令為非負值的函數。則為：
 對數凸函數若為凸函數，
 嚴格對數凸函數若嚴格凸函數。
此處視為。

明顯可看出，為對數凸函數若且唯若，針對所有，以及所有，以下二個等效的條件會成立：

而是嚴格對數凸函數若且唯若，在上述二個式子中，的小於等於都改為小於，在範圍內都成立。

以上定義允許等於零，但若是對數凸函數，且在內的任一處為零，則需在內部的所有位置都要為零。

等效條件
若在定義在區間的可微函數，則為對數凸函數。若且唯若下式在所有內的和都成立：

這和以下條件等效，只要和在內，且，則下式成立：

而且是嚴格對數凸函數若且唯若上述的不等式中，均為嚴格的不等式。

若是二次可微，則其為對數凸函數若且唯若，針對所有在內的，

若上述的不等式是嚴格不等式，則是嚴格對數凸函數。不過，其反例不成立。有可能是嚴格對數凸函數，且針對一些，可以找到。例如，若，則是嚴格對數凸函數，但。

為對數凸函數，若且唯若 在所有內都是凸函數..。

充份條件
若為對數凸函數，且為非負實數，則為對數凸函數。

若是一個對數凸函數的族，則是對數凸函數。

若是凸函數，且是非遞減的對數凸函數，則是對數凸函數。

性質
對數函數會大幅降低函數成長的速率，因此若取對數後仍為凸函數，表示函數上昇的速度比凸函數還快，因此會稱為超凸函數。

對數凸函數f 本身是凸函數，因為這是遞增凸函數及（依定義是凸函數）的复合函数。但凸函數和對數的复合函数不一定都是凸函數。像是凸函數，但不是凸函數，因此不是對數凸函數。另一方面，是對數凸函數，因為是凸函數。

例子
 是對數凸函數，若，若，函數是嚴格對數凸函數。
 ，針對所有的，在範圍內，是嚴格對數凸函數。  
 正數上的Γ函数是對數凸函數。（參見）。
 註解 

參考資料

 John B. Conway. Functions of One Complex Variable I, second edition. Springer-Verlag, 1995. ISBN 0-387-90328-3.
 Stephen Boyd and Lieven Vandenberghe. Convex Optimization. Cambridge University Press, 2004. ISBN 9780521833783.
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外部連結

Category:实分析