胡列维茨定理

在数学中，胡列维茨定理是代数拓扑的一个基本结论。定理通过“胡列维茨同态”将同伦论与同调论联系起来，是庞加莱此前部分结论的推广。胡列维茨定理以命名。

定理陈述

胡列维茨定理是连接同伦群和同调群的关键一环。

绝对版本

对于任意空间  和任意正整数 ，都存在群同态（构造见本小节末尾）

称为从  阶同伦群到  阶（整系数）同调群的胡列维茨同态。当  且  道路连通时，胡列维茨同态等价于标准的阿贝尔化映射

胡列维茨定理声明，若  是(n -1)-连通空间，那么对于所有 ，胡列维茨同态都是群同构（当 ）或阿贝尔化（当 ）。特别地，定理说明第一同伦群（即基本群）的阿贝尔化同构于第一同调群：

因此，如果  道路连通且  是完美群，那么  的第一同调群为零。

此外，当  是(n -1)-连通时（），胡列维茨同态  都是满同态（满射）。

胡列维茨同态由如下方式给定：设  为标准生成元，那么胡列维茨映射将同伦类  映射到 。

相对版本

三元版本

单纯集合版本
拓扑空间的胡列维茨定理对于n-连通、满足阚条件的单纯集合也有对应陈述。, III.3.6, 3.7

有理胡列维茨定理

设  为单连通拓扑空间，并对于所有  满足 。那么胡列维茨映射

对于  为同构，且对于  是满射。

参考资料









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