波前集

在数学分析中，特别是微局部分析中，一个分布  的波前集  在奇异支集  的基础上进一步刻画了  的奇异性。作为底空间余切丛的一个锥子集，一个分布的波前集不仅描述了这个分布的奇异点，并且同时描述了在每一点这个分布奇异的方向。“波前集”这个术语是由
拉尔斯·霍尔曼德尔在1970年左右引入的。实解析版本的波前集，定义在超函数上，称为“奇异支集”或“奇异谱”，稍早由佐藤干夫引入。

定义
在欧式空间的一个区域  中，一个分布  在一个点  处的奇异纤维 ，作为 的一个子集， 是在这一点所有奇异方向的余集。严格的定义用到傅里叶变换， 不属于  当且仅当存在紧支集光滑函数  以及  的一个锥邻域（在正实数乘法下不变）  使得 ，并且在  中有如下估计：对于任意正整数 ，存在正常数  使得

（我们经常将这个估计写为。）

 的波前集  定义为 

由下面波前集在坐标变化下的性质，可以定义光滑流形  上的分布  的波前集  为余切丛去掉零截面  的一个锥子集。

如果 有Schwarz核 ，定义

对于拟微分算子 ， 可以验证  包含于  的对角线 中。并且如果我们定义  如下： 当且仅当在的一个锥邻域中， 的象征满足估计 

那么我们有  当且仅当 。

等价定义
Hormander最早的定义用到了拟微分算子在分布上的作用： 是所有满足如下性质的点 在 中的补集：
存在  的锥邻域  使得对于任意的满足  的拟微分算子 ， 有 。

另一个有用的等价定义用到FBI变换。

性质

（1） 如果记  为余切丛上自然投影，则 。

（2） 对于拟微分算子 ， 。特别的，我们有对于任意的光滑系数微分算子，。

（3） 如果  是一个光滑映射，记  为  的法丛。如果 满足 ，那么我们可以“唯一的”定义  在  下的拉回 。并且我们有 。 特别的，如果  是一个微分同胚，。所以波前集定义在余切丛上是不取决于坐标的。

（4）令  如果将  视作从  到  的一个关系，并且记
。这里和分别是和上余切丛的零截面。则如果 满足 ，那么我们可以“唯一的”定义。并且我们有 。

（5）如果  和  满足 ，那么我们可以“唯一的”定义复合算子 。并且我们有

这里最后一项是将波前集视为关系下的复合。

例子
函数
振荡积分
余法分布
拉格朗日分布

应用
分布的运算
拟微分算子与微局部化
奇异性的传播

推广
以上所定义的波前集描述的是分布的关于  正则性的奇异性，类似的可以定义关于实解析性的波前集 ，关于Gevery类  的波前集，关于Sobolev空间  的波前集等等。在使用FBI变换的定义中，这些波前集有一个很好的统一的描述。

参考来源
 Lars Hörmander, Fourier integral operators I, Acta Math. 127 (1971), pp. 79-183.
 Chapter VIII, Spectral Analysis of Singularities

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