導出拓撲

在拓撲學與相關數學領域裡，導出拓撲（，或译诱导拓扑）是指透過拓撲空間與某個集合間的函數，所導出該集合之拓撲。該集合可能是函數的定義域或對應域。

定義
導出拓撲的定義如下：

令 X0、X1 為集合， 為由 X0 映射至 X1 的函數。

若  為 X0 上的拓撲，則由  在 X1 上導出之拓撲為 。

若  為 X1 上的拓撲，則由  在 X0 上導出之拓撲為 。

可以看到，上述兩個定義都是使用原像，因為原像會維持集合的交集與聯集，但像則不一定可以。舉例來說，考慮一具有拓撲  之集合 、一集合 ，以及一函數 ，使得 。可知， 不會形成一個拓撲，因為 ，但 。

下面為導出拓撲的等價定義：

由 f 在 X1 上導出之拓撲  為使得 f 是連續的最精細拓撲。此一拓撲為 X1 上終拓撲之一例。

由 f 在 X0 上導出之拓撲  為使得 f 是連續的最粗糙拓撲。此一拓撲為 X0 上初拓撲之一例。

例子

 商拓撲是個由商映射導出之拓撲。
 若 f 是個包含映射，則 f 在 X0 上會導出子空間拓撲。

參考資料



另見
 自然拓撲

分類:拓撲學
分類:點集拓撲學