可分離變數的偏微分方程

可分離變數的偏微分方程（PDE）是指一種偏微分方程，在求解時可以用分離變數法分離為一組階數較低的微分方程。這一般是因為偏微分方程滿足某種形式或是對稱。因此可以利用求解一組較簡單的偏微分方程來求解原問題，若可以簡化為一維的問題，甚至可以用變成常微分方程。

分離變數法最常見的形式是其解可以假設為幾個函數的積，而每個函數只有一個自變數。例如給予一個  元函數  的偏微分方程，猜想解答的形式為
 。

這是一種特別的分離變數法，稱為-分離變數法，此方式是將解寫成和座標有關的固定函數，以及以各座標為自變數函數的乘積。上的拉普拉斯方程是一個可以用-分離變數法求解的偏微分方程的例子，在三維空間下會用來求解。

偏微分方程的分離變數法和常微分方程的分離變數法不同，後者是指問題可以變成二個積分相等的形式。

範例

例如，考慮非時變的薛丁格方程

針對函數（為簡化問題，其為無因次量）（等效的作法是考慮非齊次的亥姆霍兹方程）。若三維函數形式如下

則此問題可以分解為三個一維的常微分方程，函數分別是、及，最後的解可以寫成。（薛丁格方程中可以分離變數求解的例子已由艾森哈特（Eisenhart）在1948年列舉L. P. Eisenhart, "Enumeration of potentials for which one-particle Schrodinger equations are separable," Phys. Rev. 74, 87-89 (1948).）。

 參考資料 

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