阻尼比

阻尼比（）是工程上的無因次量，描述系統在受到擾動後振盪及衰減的情形。許多系統在受擾動，離開其靜平衡位置時都會振盪，例如吊在彈簧的重物，若用力往上拉再放開，就會上上下下的擺動。在擺動過程中，系統試圖回到平衡位置，不過會出現過沖。有時系統會有損耗（例如摩擦力）會形成系統的阻尼，會使系統的振盪漸漸變小，最後衰减。阻尼比是描述系統的振盪多快可以衰減。

系統的振盪行為出現在許多不同的領域中，例如控制工程、機械工程、結構工程及電機工程等。振盪的物理量可能有很大的不同，振盪的可能是在大風中的建築物，也可能是馬達的速度，但利用正規化、無因次化的分析可以描述這些現象中共通的特性。

振盪情形
 當彈簧質量系統完全沒有損耗，質量會一直擺動，不會結束，每一次的擺動振幅都和之前一樣，這種理想情形稱為無阻尼。
 若系統的損耗很大，例如彈簧質量系統放置在黏滯的液體中，系統會慢慢的回到初始位置，甚至不會過沖，這稱為過阻尼。
 一般而言，在擺動時會出現過沖，再往另一邊擺動，再回來，在擺動過程中，系統消耗了一些能量，而擺動振幅也會越來越小，最後回到初始位置，這稱為欠阻尼。
 在過阻尼及欠阻尼二個條件之間，有一個特定的情形是系統不會過沖，會在最快時間回到初始位置，這稱為臨界阻尼。臨界阻尼和過阻尼都不會過沖，而臨界阻尼是最快回到初始位置的那一個阻尼條件。

 定義 

阻尼比常用ζ表示，是二階微分方程步階響應及頻率響應的參數之一。在控制理論及諧振子中相當重要。

阻尼比表示系統的阻尼相對於臨界阻尼的比值。若有阻尼的諧振子質量為m、阻尼係數為c、彈簧常數為k，
阻尼比可定義為系統的阻尼係數相對於臨界阻尼的比例：



若系統的運動方程為

其臨界阻尼係數為

或

阻尼比是二個相同單位係數的比值，因此為無因次量。

 衍生 
利用簡諧運動的自然頻率及以上的阻尼比定義，可以將二階微分方程式改寫如下： 

上述方程式可以用以下的方式求解

其中C和s都是複數的常數。此解法假設解是振盪且/或指數遞減，將此放入微分方程中，可以得到振盪頻率的條件：

無阻尼：對應沒有阻尼的簡諧運動，其解為。
欠阻尼：若s為複數，解為指數遞減且振盪的函數，振盪部分可用表示。此時，稱為欠阻尼。
過阻尼：若s為實數，則解為沒有振盪的指數遞減，此時，稱為過阻尼。
臨界阻尼：當，介於過阻尼及欠阻尼之間，稱為臨界阻尼，這是許多工程應用想要的結果，也會希望阻尼振盪器可以設計在這一點。

 品質因子及衰減速率 

品質因子Q、阻尼比ζ及指數衰減率α有以下的關係

若二階係系統的（欠阻尼系統），系統有二個共軛零點，其實部為，因此其指數衰減率參數表示振盪後指數衰減的速度。低阻尼比表示其衰減速度慢，因此許多欠阻尼的系統可以振盪較長的時間。像高品質的音叉其阻尼比很小，因此敲擊後振盪可以持續很長的時間，衰減的速度很慢。

对数衰减
阻尼比也和欠阻尼系統中的有關

上述關係只在欠阻尼的系統下有效，因為对数衰减定義為二個相鄰振幅比例的自然對數，而只有欠阻尼系統有振盪，才有對應的振幅。

 相關條目 
 品質因子
 衰減

 參考資料 

Category:力學上的無因次量
Category:工程比例
Category:常微分方程