超質數

超質數也稱為高階質數，是指在質數序列中，第2個、第3個、第5個……等序數為質數的數。換句話說，若將正整數和質數從小到大兩兩對應排列，讓正整數的1對應質數的2，則正整數那列為質數的數字，質數那列對應的就是超質數。

超質數有
3, 5, 11, 17, 31, 41, 59, 67, 83, 109, 127, 157, 179, 191, 211, 241, 277, 283, 331, 353, 367, 401, 431, 461, 509, 547, 563, 587, 599, 617, 709, 739, 773, 797, 859, 877, 919, 967, 991, ... .

若p(i) 表示第i個質數，則超質數即為p(p(i))。
 n 1  2  3  4  5  6  7  8  9  10  11  12  13  14  15  16  17  18  19  20 p(n) 2  3  5  7  11  13  17  19  23  29  31  37  41  43  47  53  59  61  67  71 p(p(n)) 3  5  11  17  31  41  59  67  83  109  127  157  179  191  211  241  277  283  331  353

利用電腦輔助的證明（和子集和問題的計算有關）證明了所有大於96的數都可以表示為幾個相異超質數的和。此證明的基礎和伯特蘭-切比雪夫定理有關，說明（大於11的每一個超質數，都比前一個的二倍要小。

Broughan及BarnettKevin A. Broughan and A. Ross Barnett, On the Subsequence of Primes Having Prime Subscripts , Journal of Integer Sequences 12 (2009), article 09.2.3.證明了小於x的超質數數量如下

這可以說明超質數的集合是小集（集合倒數的和會收斂）。

也可以用類似的方式定義更高階的質數，產生類似的數列。

超質數的一個變體是序數為回文素数的質數，數列如下
3, 5, 11, 17, 31, 547, 739, 877, 1087, 1153, 2081, 2381, ... .

參考資料

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外部連結
A Russian programming contest problem related to the work of Dressler and Parker

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