等效位能

等效位能是將許多效應綜合成單一位能的數學表達式。在古典力學中，等效位能即為離心力位能與位能的和。等效位能常被用來計算行星的軌道及半古典的原子計算，可用來降低問題的維度。

定義
等效位能  可定義如下：

L 為角動量。
r 為兩物體之距離。
m 為繞行物體之質量。
U(r) 為位能。

等效力，也就是等效位能的梯度取負號則為：

其中  為r方向的單位向量。

特性
等效位能有許多有用的特性：

要找到一個圓形軌道的半徑，我們只要將等效位能對r取最小值，或是找使總力為0：

在解出後，代回以求等效位能之最大值。

也可求得微小振盪之頻率：

其中角分符號代表對r的微分。

例子：重力位能
以質量為m的小天體繞行質量為M的大天體為例，並假設M遠大於m。在牛頓力學中，大天體的運動可被忽略，且能量E及角動量L守恆：

其中

 為r對時間的微分，
 為小天體之角速度，
G 為重力常數。

因為整個運動發生在一平面，所以我們只需要兩個變數r及。將第二個式子代回第一個式子，整理之後可得

其中

即為等效位能。A similar derivation may be found in José & Saletan, Classical Dynamics: A Contemporary Approach, pgs. 31–33 如同上式所述，原問題的兩個變數被化簡成單變數的問題。在許多應用中，等效位能可視為一維系統的位能，譬如說用等效位能來決定轉折點及穩定平衡區。類似的方法可用來決定廣義相對論中史瓦西度規的軌道。

注释

参考资料

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