迪恩數

迪恩數（D，De或Dn）是流體力學中的無因次量，會用在彎管及彎曲渠道的流體研究中，得名自1920年代研究彎曲流場的英國科學家。

 物理背景 

黏性流體沿直管道流動時，管中央的流速較快，近管壁的流速較慢，為泊肅葉流。轉彎時，受離心力影響，中央較快的流體被推到外側（附圖的右側），管壁附近的流體相應被擠壓返回內側（附圖的左側），產生兩個反向的渦旋。此種次要的效應與原先向前的流動互相疊加，所以流體粒子實際的軌跡是螺旋線。此種渦流稱為迪恩渦（）。

 定義 
迪恩數的定義如下：



  為流體密度
  為流體的粘度
  是軸向的速度值
  為彎管直徑（若截面不是圓形，可以用等效直徑，請參考雷諾數）
  是彎管的曲率半徑
迪恩數和雷諾數（基於在直徑d的管內流速為V的流體）及曲率平方根的乘積成正比Chapter5 Geometry and Flow p.3 。

 迪恩方程 
迪恩數出現在迪恩方程中，這是針對牛顿流体在環面管中的軸向均勻流，曲率效應較小 () 時針對纳维-斯托克斯方程的近似。

此處使用正交座標系  ，其單位向量和彎管的中線對齊，延著中線方向，和中線平面垂直，而為副法線．若軸向流是因為壓力梯度而產生，其軸向速度 除以 ，跨流線的速度 除以 ，跨流線的壓力除以，而長度除以曲率半徑。

利用上述的無因次變數及座標，迪恩方程式可以用下式表示Mestel, J. Flow in curved pipes: The Dean equations , Lecture Handout for Course M4A33, Imperial College.

其中

為實質導數。

迪恩數D是上述系統中唯一的參數，也包括了曲率效應的第一階效應在內，若要考慮更高階的效應，需要引入其他的參數。

若曲率的影響不大時（D比較小），迪恩方程可以用迪恩數的级数展开來表示. 此處在 （Dennis & Ng 1982）時都還是穩定的。若D值較大，有許多不同的解，其中有許多是不穩定的。

 參考資料 





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