正规序

在量子场论中，一组創生及湮滅算符的乘积称為是按正规序排列的，如果所有的創生算符排列在所有的湮灭算符的左侧，相应的乘积称为正规乘积。类似地可以定义反正规序，在反正规序中，所有产生算符排列在湮灭算符的右侧。

 记号 
令為任意創生和湮灭算符之乘積，則我們將按照正规序重新排列之后得到的算符用 或 表示。注意正規序只對算符乘積有意義，因為正規序不是線性關係，將正規序用在算符和並無太大作用。

 玻色子 
玻色子符合玻色–爱因斯坦统计。

 单个玻色子 
单个玻色子有一个产生算符和一个湮灭算符：
 ：玻色子的产生算符
 ：玻色子的湮灭算符
则有：

其中  表示两个算符的对易子。

 例子 
1. 最简单的例子是  的正规序，根据正规序的定义，可见这里的算符已经按照正规序排列，所以的正规序就是它自身：

2. 第二个例子是  的正规序，

这里，按照正规序的要求，产生算符  放到了湮灭算符 的左边。由玻色子算符的对易关系有：

在维克定理中，两个产生或湮灭算符的乘积与它们的正规序之间的差，称为这两个算符的收缩。

3. 一个多算符的例子：

 多个玻色子 
对于  个不同的玻色子来说，有  个算符：
 ：第  个玻色子的产生算符
 ：第  个玻色子的湮灭算符
其中 .

它们满足下列对易关系：

其中 ， 是克罗内克函数。

 例子 
1.对于两个玻色子 () ，有：

2. 对三个玻色子 () ，有：

由于  （参见对易关系），湮灭算符之间的顺序并不重要。

 费米子 
费米子服从费米-狄拉克统计。

 单个费米子 
单个费米子有一个产生算符和一个湮灭算符：
 ：费米子的产生算符
 ：费米子的湮灭算符
它们满足下面的反对易关系：

其中  是反对易子。

与玻色子不同的是，对于费米子的正规序，每当重新排序引起两个算符的前后顺序发生变化时，需要额外引入一个负号。

 例子 
1. 最简单的例子是：

由于算符已经按正规序排列，所以其正规序就是它本身。反过来，若是产生算符排列在后面，则如前文所说，其正规序需要引入一个负号，即：

由费米子算符的反对易关系有：

与玻色子的情形一样，上式用于定义维克定理里面的收缩。

2. 其它情形下的正规序都是零，因为此时同一个湮灭算符或产生算符至少连续出现了两次。根据费米子的性质，此时结果为零，例如：

 多个费米子 
 个费米子有  个产生湮灭算符，设：
 为第  个费米子的产生算符
 为第 个费米子的湮灭算符
其中 .

它们满足下列反对易关系：

其中 ，  是克罗内克函数。

 例子 
1. 对两个费米子 () ，有：

由于算符已经按正规序排列，所以其正规序就是它本身。

由于两个算符的顺序发生了交换，所以要引入一个负号。

与玻色子的情形不同，此时产生算符之间的顺序是有关系的。

2. 对三个费米子 () ，有：

类似地有：

 量子场论中的应用 
任意算符的正规序的真空期望值为零。这是因为对于真空态来说，以及都是0。

这里  和  分别是（玻色子或费米子的）产生和湮灭算符。将正规序的这一性质与维克定理结合起来，便能大大简化场算符的真空期望值的计算。

 参考文献 

 F. Mandl, G. Shaw, Quantum Field Theory, John Wiley & Sons, 1984.
 S. Weinberg, The Quantum Theory of Fields (Volume I) Cambridge University Press (1995)
 T.S. Evans, D.A. Steer, Wick's theorem at finite temperature, Nucl. Phys B 474, 481-496 (1996) arXiv:hep-ph/9601268

Category:量子场论