夏農–菲諾–以利亞碼

在信息论中，夏農–菲諾–以利亞碼是算術編碼的先導，其機率被用於決定碼字。

 演算法描述 

給定一離散隨機變數 X ，令  為 X=x 發生之機率。

定義

演算法如下：
對每個 X 中的 x，
令 Z 為  之二次展開
令 x 之編碼長度 
選定 x 之編碼，  為  在 Z 之小數點後之第一個最高有效位。

 舉例 

令 X = {A, B, C, D} ，其發生機率分別為 p = {1/3, 1/4, 1/6, 1/4} 。
對於 A

在二進位中， Z(A) = 0.0010101010...
L(A) =  = 3
code(A) 為 001

對於 B

在二進位中， Z(B) = 0.01110101010101...
L(B) =  = 3
code(B) 為 011

對於 C

在二進位中， Z(C) = 0.101010101010...
L(C) =  = 4
code(C) 為 1010

對於 D

在二進位中， Z(D) = 0.111
L(D) =  = 3
code(D) 為 111

演算法分析

前綴碼

夏農–菲諾–以利亞碼之輸出為二進位前綴碼，因此可被直接解碼。

令 bcode(x) 為二進位表示法最左側加入小數點而成之小數。舉例而言， code(C)=1010 ，則 bcode(C) = 0.1010 。 對所有 x ，如果沒有任何 y 存在使得 

則所有的碼可構成前綴碼。

此性質可透過比較 F 和 X 之累積分布函数，以圖表示出：

The relation of F to the CDF of X

由 L 之定義可得

並且由於 code(y) 是由 F(y) 從 L(y) 之後的位元截短而得，故

因此 bcode(y) 必不比 CDF(x) 小。

上圖說明了  ，因此前綴碼定理成立。

編碼長度

此碼之平均長度為
 。
因隨機變數 X 之 熵 H(X) 滿足

夏農–菲諾–以利亞碼之長度約比代編碼資料之熵長約一到二額外位元，故甚少被實用。

參考書目
T. M. Cover and Joy A. Thomas (2006). Elements of information theory (2nd ed.). John Wiley and Sons. pp. 127–128.

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