艾佛森括号

在数学中，以Kenneth E. Iverson命名的“艾佛森括号”（Iverson bracket），是一种用方括号记号，如果方括号内的条件满足则为1，不满足则为0. 更确切地讲，

此处  是一个可真可假的命题。该记号由Kenneth E. Iverson在他的编程语言APL中引进Ronald Graham, Donald Knuth, and Oren Patashnik. Concrete Mathematics, Section 2.2: Sums and Recurrences.，而特别使用方括号则是由高德纳倡导的，目的是避免含括号的表达式中的歧义。Knuth 1992.

 用途 
艾弗森括号通过自然的映射将布尔值转化为整数值，这就允许计数被表示为和式。例如，计数与小于n且正整数n互质的正整数的个数的欧拉函数可以表示为

更一般地，此记号使得将和式和积分式中繁多的条件移入并成为被加（积）项的一个因子成为可能。这将减少累加记号周围的空间，更重要的是这允许运算更加代数化。例如，


另一个例子是化简带特例的方程，例如公式

对一切有效，但是右边有  对于 。为了得到一个一切正整数n都成立的恒等式，可以利用艾弗森括号补充等式：

 样例 
克罗内克函数 : 

符号函数和单位阶跃函数：



最值与绝对值：

上下取整函数：



可被表示为

实数的三分律等价于下面的恒等式：

 另见 

 注释 

 参考来源 
  Donald Knuth, "Two Notes on Notation", American Mathematical Monthly, Volume 99, Number 5, May 1992, pp. 403–422. (http://www-cs-faculty.stanford.edu/~knuth/papers/tnn.tex.gz , )
 Kenneth E. Iverson, A Programming Language, New York: Wiley, p. 11, 1962.

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