拉馬努金求和

拉馬努金求和（）是由數學家斯里尼瓦瑟·拉馬努金所發明的數學技巧，指派一特定值予無限發散級數。儘管拉馬努金求和不是傳統總和的概念，其在探討發散級數上極有用處；因為在此情形下，傳統的求和方式是無法定義的。拉馬努金求和的成果可用在複分析、量子力學及弦理論等領域。

 求和法 
拉馬努金求和法本質上是部分和的性質，而非整個數列的級數和性質，後者在此情形通常是無法定義的。若我們同時採用歐拉-麥克勞林求和公式以及伯努利數的修正規則，可得：

拉馬努金寫道： Bruce C. Berndt, Ramanujan's Notebooks , Ramanujan's Theory of Divergent Series, Chapter 6, Springer-Verlag (ed.), (1939), pp. 133-149.當p趨近於無限大，
，

其中C是此級數的特定常數，然而拉馬努金並未指定其解析延拓以及積分的上下限。將兩式作比較，並假設R趨近於0，而x趨近於無限大；當一函數 f(x) 在x = 0不發散：

其中拉馬努金假設。若設，可得到尋常收斂級數的求和式。當一函數 f(x) 在x = 1不發散，可得：

C(0)因此被提議用作發散數列的和。在此建立了求和與積分之間的橋梁。

 發散級數的和 
下文中，表示「拉馬努金求和法的值」。此式最早出現在拉馬努金的筆記本，筆記本中沒有任何註記指示出此為一種新求和法的範例。

舉例來說，的為:
。

拉馬努金計算了一些知名發散級數的「和」。注意到拉馬努金和並非一般級數和的概念，亦即部分和不會收斂到這個值。

又如的拉馬努金和：

延伸至正偶數冪，可得：

而奇數冪的結果則與伯努利數有關：

目前有提議採用C(1)取代C(0)作為拉馬努金求和的結果，以其可保證一個級數允許唯一的拉馬努金求和結果。Éric Delabaere, Ramanujan's Summation , Algorithms Seminar 2001–2002, F. Chyzak (ed.), INRIA, (2003), pp. 83–88. 

如此拉馬努金求和的定義（標作）與早期拉馬努金求和C(0)不相同，也與收斂級數求和的結果不相同；但其帶有有趣的性質：若R(x)趨近於一個有限值極限，當x → +1，則此級數是收斂的，而可得
。

特別是如下例子：

其中γ是歐拉-馬斯刻若尼常數。

拉馬努金求和可以延伸至積分：舉例來說，運用歐拉-麥克勞林求和公式可寫出
，
此為ζ函數正規化演算積分的自然延伸。

迭代方程式為有限的，因為當，
；

其中
（參見：。）

要是，拉馬努金求和可以應用在量子場論的重整化方法，得到有限值的結果。

 相關條目 
 發散級數
 切薩羅求和
 博雷爾求和
 拉馬努金和
 1 - 1 + 1 - ⋯
 1 + 2 + 3 + 4 + …

 參考文獻 

Category:可和法
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