和與積的問題

和與積的問題（）是一道邏輯謎題，也稱為不可能的謎題（），因為它的題面似乎缺乏足夠的解題信息。該謎題由在1969年首次發表Hans Freudenthal, Nieuw Archief Voor Wiskunde, Series 3, Volume 17, 1969, page 152
，而「不可能的謎題」這個名字是由馬丁·加德納所提出的.。儘管略顯困難,這個謎題其实是可以解開的。而且還有很多與之類似的謎題。

謎題
註：這謎題有很多個版本。這裡用最原始的版本。x和y是大於1的二個整數，x小于y，两数之和不大於100 (1 < x <y, x+y ≦100)。S和P是兩個數學家，邏輯都非常好。S知道兩者的和 X+Y。P知道兩者的積 XY。兩個人都知道上述的資訊後的對話如下：

S說：「P不知道x和y的值。」
P說：「我知道x和y的值了。」
S說：「現在我也知道x和y的值了。」

x和y分別是多少？

解答

答案是 x 和 y 分別是4和13，P一開始知道的乘積是52，S一開始知道的和是17。

一開始P不知道答案，因為有兩個可能性
52 = 4 × 13 = 2 × 26
而S也知道P不知道答案，因為所有加起來為17，符合規則的數字，相乘後的乘積都無法由乘積直接反推X和Y。但S和P都可以根據對方的說明刪除一些不符合說明的解，因此得到答案。

詳解

 數學家P和數學家S如何得到答案 

 數學家P 
令p為兩數之積，s為兩數之和。

P知道p=52，P猜測(2,26)和(4,13)可能是答案，因此P知道s=28或s=17。

若s=28:

可能答案會是(2,26)、(3,25)、(4,24)、(5,23)、(6,22)、(7,21)、(8,20)、(9,19)、(10,18)、(11,17)、(12,16)及(13,15)。
但若答案是(5,23)，5*23的乘積（115）無法再表示為其他兩個大於一數字的乘積，因此若答案是(5,23)，P就知道答案了。
而若答案是(11,17)，11*17的乘積（187）無法再表示為其他兩個大於一數字的乘積，因此若答案是(11,17)，P就知道答案。
P有可能知道X和Y的值，因此S不能斷定說「P不知道x和y的值。」

若s=17:

可能答案會是(2,15)、(3,14)、(4,13)、(5,12)、(6,11)、(7,10)及(8,9)。
每組數字中都至少有一個是合數，因此乘積可以表示為其他兩個大於一數字的乘積，S可以確定P不會知道正確的數字。
因此S可以說「P不知道x和y的值。」

因此當S說「P不知道x和y的值。」時，P可以刪除(2,26)，剩下的(4,13)就是答案。

 數學家S 
S知道s=17，可能的答案有(2,15)、(3,14)、(4,13)、(5,12)、(6,11)、(7,10)及(8,9)。S知道p可能是30、42、52、60、66、70或72。

當P說：「我知道X和Y的值了。」時，S可以知道P依照對話可排除大部份的可能解，只留下一個可能解。

 S模擬P的想法 

只有情形3最後只有一個可能答案，因此S可以確定(4,13)是正確答案。

讀者如何得到答案

問題給出的條件是
 X, Y 是兩個整數，適合1 < X < Y，X + Y ≤ 100。（條件1）

令兩數之和為s，兩數之積為p。以下提到的(x,y)，都指符合條件1的一對整數x和y。

從S的第一句話，p可分解成多於一個(x,y)。而且S雖不知道p的值，但檢查了s可分拆成的所有(x,y)後，其積xy都有多於一個分解符合條件1，因此S可以肯定P不知道X, Y的值。（條件2）

從P的第一句話，P知道p的值，也知道s符合條件2。檢查了p可分解成的所有(x,y)，只有一個的和x + y符合條件2，所以P得到X, Y的值。（條件3）

從S的第二句話，S知道s的值，也知道P的分析，推出p符合條件3。檢查了s可分拆成的所有(x,y)，只有一個的積xy符合條件3，所以S得到X, Y的值。（條件4）

按條件1，s的可能值最小是2 + 3 = 5，最大是100。以下找出s的所有符合條件2的可能值：
 若(x,y)都是質數，則xy有唯一分解，故s不可分拆為（符合條件1的）質數對。排除不小於8的偶數，及2+奇質數。（按照哥德巴赫猜想，大於2的偶數都是兩個質數的和，且對不太大的偶數都成立。不過6不是兩個相異質數的和。）
 若xy = q3，q是質數，則xy有唯一分解(q,q2)，故s不可能分拆為(q,q2)。排除6 = 2 + 22。
 若xy有大於50的質因數q，由於y < 100，因此y = q，即xy有唯一分解(x,q)，故s不可能分拆為(x,53)。排除不小於53 + 2 = 55的整數。
 若xy = 2q2，q > 10是質數，由於y < 100，y不等於q2，因此xy有唯一分解(q,2q)，故s不可能為3q。排除51 = 3·17。

s的餘下的可能值為
11, 17, 23, 27, 35, 37, 41, 47, 53. (*)

以上的可能值都符合條件2：因為s是奇數，任何分拆出的(x,y)必為一個奇數a和一個偶數2b。
當b = 1時，a是合數，a ≤ 53 - 2 = 51，故有質因子q ≤ 7，xy = 2a 可分解成a/q和2q，易知其和小於100，符合條件1。
當b > 1時，
若a ≠ b，則xy = 2ab 也可分解成2a和b。因為a ≤ 53 - 4 = 49，
2a + b = a + 2b + (a - b) = s + (a - b) ≤ 53 + (49 - 2) = 100
符合條件1；
若a = b時，a是合數（a不是大於10的質數，也不是小於10的質數，因其3倍都不是s的可能值），a = s/3 ≤ 53/3 < 18，故有質因子3，則xy = 2a2也可分解成2a/3和3a，
2a/3 + 3a < 66
符合條件1。（也可直接驗證，此時s的可能值是3a，而(*)中只有27是3的倍數。）

以下檢查s的符合條件2的可能值，即(*)中的值，是否滿足條件4：

注意到若p = 2k q，其中q是奇質數，則p僅有一個（符合條件1的）分解2k和q，使其和是奇數，故此若其和2k + q符合條件2，則p滿足條件3。

11可分拆成(4,7)和(8,3)，從上得知兩者的積28和24都符合條件3，故11不滿足條件4。

類似地，23可分拆成(4,19)和(16,7)，27可分拆成(4,23)和(8,19)，35可分拆成(4,31)和(16,19)，37可分拆成(8,29)和(5,32)，47可分拆成(4,43)和(16,31)，故23, 27, 35, 37, 47都不滿足條件4。

餘下需要檢查s的可能值 17, 41, 53。17可分拆成(4,13)，41可分拆成(4,37)，53可分拆成(16,37)，這些分拆的積都符合條件3。

41分拆成(2,39)，其積78分解成(6,13)，和為19；其積分解成(3,26)，和為29，都不符合條件2，故(2,39)的積符合條件3，41不滿足條件4。

53分拆成(5,48)，其積240分解成(15,16)，和為31；其積分解成(3,80)，和為83，都不符合條件2，故(5,48)的積符合條件3，53不滿足條件4。

檢查17的各分拆：
 (2,15)的積可分解為(5,6)，其和11符合條件2，故(2,15)不符合條件3。
 類似地，(3,14)的積可分解為(2,21)，和為23；(5,12)的積可分解為(3,20)，和為23；(6,11)的積可分解為(2,33)，和為35；(7,10)的積可分解為(2,35)，和為37；(8,9)的積可分解為(3,24)，和為27。各積的上述另一分解的和都符合條件2，故各積都不符合條件3。

因此17分拆成(4,13)，其積才符合條件3，故17滿足條件4。

由於17是(*)中唯一滿足滿件4的值，得出s = 17, X = 4, Y = 13。

相關條目
 謝麗爾的生日
 三個杯子問題

参考

外部連結
 Puzzles by John Burkardt
 The Impossible Problem by Torsten Sillke
 Two Mathematicians Problem on mathforum
 Model Checking Sum and Product
 Survey: The Freudenthal problem and its ramifications

Category:智力游戏