初拓扑

在一般拓扑学与数学的相关领域中，给定集合与上的一族函数，其初拓扑（initial topology）是使得这一族函数连续的最粗糙拓扑。

子空間拓撲与積拓撲都是初拓扑的特例。事实上，初拓扑可以看作是这两种结构的推广。

与初拓扑对偶的结构稱為终拓扑。

定义


證明因為：

所以：

另外對於任意，和任意  有：

這樣，因為  ，所以：

根據以上所述，  的確是  的拓撲基。

另外，對任意  上的拓撲  來說，「對所有  ，  為   -  连续」等價於：

「對所有  ，和所有  ， 」

也就等價於：

這樣根據拓撲基的性質(1)， 就是  所生成的拓撲，至此本定理得證。
上述拓扑基  裡的元素通常被稱為（）。

实例
子空间拓扑是在子空間上，关于包含映射的初拓扑。
積拓撲是关于一族投影映射的初拓扑。
的是关于映射至其对偶空间的连续线性算子的初拓扑。

性质
特征性质
给出任意拓扑空间，X上的初拓扑依照上面所给的定义。则有以下性质成立：从到的映射是连续的，当且仅当  是连续的。
Evaluation
从闭集分离点
称从闭集分离点，如果中任意闭集，与任意不属于的点，，使得 这里的cl是闭包算子。

关于初拓扑有如下定理：一族连续映射从闭集分离点，当且仅当the cylinder sets构成集合的一个基。

从这个定理可以得到，如果上有一族连续映射从闭集分离点，那么关于这族映射就存在一个初拓扑。反之是不成立的，因为初拓扑是由为子基生成的拓扑，在这个定理中要求the cylinder sets是集合的一个基。

参考资料

Category:拓扑学