解析延拓

解析延拓（）是數學上將解析函數從較小定義域拓展到更大定義域的方法。透過此方法，一些原先發散的級數在新的定義域可具有迥異而有限的值。其中最知名的例子為Γ函数與黎曼ζ函數。

 初步闡述  
316px|right|thumb|自然對數虛部之解析延拓

若  為一解析函數，定義於複平面  中之一開子集 ，而  是  中一更大且包含  之開子集。 為定義於  之解析函數，並使

則  稱為  之解析延拓。換過來說，將  函數限制在  則得到原先的f函數。

解析延拓具有唯一性：

若  為兩解析函數  及  的連通定義域，並使  包含  ；若在  中所有的  使得

，

則在  中所有點

。

此乃因  亦為一解析函數，其值於  的開放連通定義域  上為0，必導致整個定義域上的值皆為0。此為全純函數之惟一性定理的直接結果。

 应用 
在复分析处理过程中定义函数的通常做法是，首先在较小的定义域中具体定义函数，然后通过解析延拓将其扩展到指定范围。在实际操作中，为了实现函数的连续性，我们需要在较小的定义域中建立函数方程， 然后通过这个方程拓展定义域。例如黎曼ζ函数和Γ函数。全覆盖的概念最早用来定义解析函数解析延拓之后的自然定义域。寻找函数解析延拓后的最大定义域的想法最后导致了黎曼面的诞生。

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