马丢函数

马丟函数（）是1868年法國數學家因研究数学物理所推得的特殊函數，下列马丟方程的解析解：

马丟方程有两个线性无关的解：
奇数解
MathieuCE(n, q, x)，或记为,

偶数解
MathieuSE(n, q, x).或记为
称为基本解王竹溪 郭敦仁 603

周期性
马丟函数 MathieuC(a,q,z) 或 MathieuS(a,q,z) 只有一个是周期为  或的周期解，另一个不是。

马丟函数 MathieuC(a,q,z) 和 MathieuS(a,q,z) 两者都有是周期为（n≥2)的周期函数。
604页

正交性




特征方程
马丟方程的特征方程是605页

对于给定的v，q,  上列特征方程给出无穷多个a、b解称为特征值。

特征值的展开
马丟函数体特征值可展开成级数：Frank  p659

级数展开
马丟函数ce,se的级数展开Frank  p660

傅立叶展开式
马丟函数的傅立叶展开：Frank  p656-657



其中系数A,B满足下列递归关系：Frank J. Oliver p656

关系式
马丟方程的基本解满足下列关系：NIST  p653:

= 

郎斯基行列式：

特例






 <math
>                    </math>

夫洛开解
马丟函数中，如果 是一个周期为的解，并满足下列条件

,其中与x 无关，则此解称为夫洛开解。

级数展开

参考文献

王竹溪 郭敦仁 《特殊函数概论》 第十二章 马丟函数  北京大学出版社  2000
Frank J Oliver  NIST Handbook of Mathematical Functions,Cambridge University PRESS, 2010

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