开尔文船波

尾波（）是固体在划过流体（特别是液体）表面时在尾部产生的V形传播的波，例如水鸟或船舶匀速游过水体时在水面激起的后方波纹。因为由英国的开尔文男爵——物理学家威廉·汤姆森（William Thomson，1824～1907）最先对船波进行数学研究，因此也称为开尔文船波（）。

 数学原理 
船形物体的尾波形状和福祿數有密切关系。

其中g为重力常数，V是船速，l是船的长度。

令船的长度
则.

对于长度大而速度低的轮船，Fr数小，开尔文船波主要是长波，其波前与速度矢量的夹角比较小。

而小快艇，长度小，速度高，Fr 数大，开尔文船波则以短波长的水波为主，而波前则与速度矢量成较大的夹角。James LightHill, p274

开尔文船波动研究，对于船舶的设计有重要意义，因为船舶的马力，有一部分消耗在激起船波。利用Fr数与速度成正比，与长度的平方根成反比的规律，可以利用小的模型，缩小船长倍，同时缩小速度M倍，可以在实验室中模拟海上舟。James Lighthill p275

多鞍点函数积分
当船只以速度V驶过深水湖面，波形的幅度在相对于船只为静止的极坐标（中在船只的速度矢量方向，），由下列公式表示Frank Oliver, p790-791

其中

是福祿數的平方

为重力常数为船的长度。

上列K函数是下列多鞍点积分的正数部分：

其中，多鞍点积分的核函数为

此核函数是一个多鞍点函数，振荡剧烈如图

求其极点，

解之，得

由此

度,

度

这就是凯尔文船波的V型波包线的夹角，最早由凯尔文男爵发现，而且角度与船速无关.至于波纹本身则与船速矢量的夹角为

°

开尔文驻相法


开尔文船波积分必须通过数值积分计算。开尔文男爵根据被积分函数在积分区间内剧烈震荡的特点，提出了驻相法（Method of Stationary Phase）。

原理：当被积分函数剧烈震荡时，除了在极点外，震荡的被积分函数正负相抵消，因此可以将此被积分函数在极点的值作为整个积分的近似，驻相法乃是拉普拉斯方法的推广。Frank Oliver, p790-795

被积分函数

的两个极点是：

令

开尔文船波的波峰，由下列两个参数方程式描述James LightHill,p277

参见
机尾乱流

外部链接
 §36.13 Kelvin’s Ship-Wave Pattern 

腳註

参考文献
Frank J. Oliver, NIST Handbook of Mathematical Functions, 2010, Cambridge University Press
Jame Lighthill  Waves in Fluids, Cambridge University Press  1979
Category:特殊函数
Category:流体力学