泽尔尼克多项式

泽尔尼克多项式是一个以1953年获诺贝尔物理学奖荷兰物理学家弗里茨·泽尔尼克命名的正交多项式，分为奇、偶两类

奇多项式：

偶多项式

其中 为非负整数，

为方位角

  为径向距离

如果 n-m为偶数则

如果n-m为奇数，则

泽尔尼克多项式的超几何函数表示
泽尔尼克多项式也可以表示为超几何函数

Noll 序列
Noll 用一个J数字表示 [n,m]:如下表

n,m
 0,01,1 1,−1  2,0 2,−2  2,23,−1 3,1  3,−3  3,3 j
 12 3  4  5  6  7 8  9 10n,m
4,0 4,2 4,−24,44,−45,15,−15,3 5,−35,5 j
11 12 13 141516 17  18 19 20

泽尔尼克多项式
由于

其中因j而异，

必须先归一化

令

使得

归一化泽尔尼克多项式以Noll序列排列如下：
 Noll index ()  Radial degree ()  Azimuthal degree ()    Classical name 1  0  0    Piston 2  1  1    Tip (lateral position) (X-Tilt) 3  1  −1    Tilt (lateral position) (Y-Tilt) 4  2  0    Defocus (longitudinal position) 5  2  −2    Astigmatism 6  2  2    Astigmatism 7  3  −1    Coma 8  3  1    Coma 9  3  −3    Trefoil 10  3  3    Trefoil 11  4  0    Third-order spherical 12  4  2    — 13  4  −2    — 14  4  4    — 15  4  −4    —

正交性
径向正交性

角度正交性

其中  称为Neumann因子，其数值为 2 如果满足  ，数值为 1，如果 . 
径向与角度正交性

其中  为 雅可比矩阵

 与  都是偶数.

参考文献










  from The Wolfram Demonstrations Project.



























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