尼文定理

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若用弧度表示，需在0 ≤ x ≤ /2的範圍內，且要求x/及sin x都是有理數。其結果是sin 0 = 0, sin /6 = 1/2 及 sin /2 = 1。

此定義出現在伊萬·尼雲有關無理數的書中。

证明

证明的核心是下方的引理：
引理：
对于，必定存在一个一元n次整系数多项式使得

且该多项式首项系数为1

引理的证明：
考虑采用递推法构造题设数列：

当时

当时

当时
 （积化和差恒等式）

 （移项）
即只要 且 
必定满足题设要求。

定理的证明：
考虑到是有理数，即

记

即  是 的有理根

根据整数根定理， 必定为整数

又有 

故 

于是，在   且  为有理数的条件下

定义

有

故

相關條目
勾股数：邊長為勾股数的直角三角形，角度的正弦為有理數
三角函数
三角函數數

参考资料

Weisstein, Eric W. "Niven's Theorem." From MathWorld''--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/NivensTheorem.html 

延伸閱讀



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