自旋網路

量子力學中，自旋網路是一種圖表，用以表示粒子與量子場之間的的交互作用與狀態。以數學的出發點來看，這些圖案是一種簡明方法，可代表多線性函數以及矩陣群眾多表示之間的關聯函數。此圖案記號往往能簡化計算，以其能代表複雜的函數。自旋網路的發明一般是歸因於羅傑·潘洛斯於1971年的貢獻，羅傑·潘洛斯—ANGULAR MOMENTUM: AN APPROACH TO COMBINATORIAL SPACE-TIME 然而在此之前已有類似的圖樣方法。

透過卡洛·羅威利, 李·斯莫林、, 等多位研究者的努力，自旋網路被用於量子重力理論。自旋網路亦可被用在數學中局域規範轉換不變性的連通空間，用以建構特定的泛函。

 潘洛斯原始定義 
1971年，羅傑·潘洛斯提出一種圖形表示法，其中每個線段代表一個「單元」（基本粒子或粒子的複合系統）之世界線。三條線段匯聚在一個頂點。頂點可以詮釋為一個事件；在此事件中，一個單元分裂成兩個單元，或兩個單元碰撞合而為一。當一圖表中所有的線段都在頂點會合，則此圖為「封閉自旋網路」。時間以單一方向行進，比如從圖的底部走到圖的頂部。然而在封閉自旋網路的例子，時間行進的方向對於計算不構成影響。

每一線段標上一個稱作自旋量子數的整數。帶有自旋數n的一個單元稱作n-單元，其角動量為nħ，ħ是約化普朗克常數。光子、膠子等玻色子，其n為偶數；電子、夸克等費米子，其n為奇數。

給定一封閉自旋網路，則可計算出一個相應的非負整數的範數（norm）。範數可用來計算不同自旋值的機率。當一個自旋網路的範數是零，則其發生機率為零。當範數不為零時，在頂點處則有一些約束條件如下：

若有三個單元會合在一頂點，這三單元分別帶有自旋量子數a、b、c，則必須滿足
 三角不等式：a必須小於或等於b + c，b必須小於或等於a + c，以及c必須小於或等於a + b。
 費米子守恆（Fermion conservation）：a + b + c必須是偶數。

舉例來說，a = 3, b = 4, c = 6的例子是不可能，因為3 + 4 + 6 = 13是奇數。a = 3, b = 4, c = 9也不可能，因為3 + 4 < 9。而a = 3, b = 4, c = 5則可行，因為3 + 4 + 5 = 12是偶數且滿足三角不等式。

一些標記習慣會將整數標為半整數，約束條件則變成a + b + c的和要是整數。

參考資料

參考文獻

Early papers:
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Modern papers:
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 Pre-geometry and Spin Networks. An introduction. .

Books:
 Diagram Techniques in Group Theory, G. E. Stedman, Cambridge University Press, 1990
 Group Theory: Birdtracks, Lie's, and Exceptional Groups, , Princeton University Press, 2008, http://birdtracks.eu/ 

外部連結
 约翰·贝兹於加州大學河濱分校數學系網頁—Penrose on Spin Networks 
 Seth A. Major—A Spin Network Primer 

Category:量子力學