維格納半圓分布

維格納半圓分布是一以物理學家尤金·維格納(Eugene Wigner)命名的機率分佈。其機率密度函數(Probability Distribution Function)係一存在[-R,R]區間內的半圓形分佈、以(0,0)為中心點並經過適當規範化(Normalized)的結果，因而其實其函數圖型是一半橢圓形。

for −R ≤ x ≤ R, and f(x) = 0 if R < |x|.

此機率分佈可做為一大小接近無限的隨機對稱矩陣，其特徵值(Eigenvalues) 的分布限制範圍。

它是一個經過縮放的Β分布(Beta Distribution)。精確而言：當Y值有B分布(α = β = 3/2)時，則其X = 2RY – R值具備上述分佈特性。

 性質 

第二種切比雪夫多項式(Chebyshev Polynomial)是此分布的正交多項式 (Orthogonal Polynomial) 。對於正整數n，此分佈之第2n項動差(Moment)為：

此處 X是一隨機變數，而Cn是第n項 卡塔蘭數(Catalan number)：

因此若R=2，此分佈之動差為卡塔蘭數。

(因為對稱性的關係，所有奇數項之動差皆為0)

若以  替代式子動差生成函數(Moment generating Function)內的x，則我們可以發現：

並得以此式子得出(詳見Abramowitz and Stegun §9.6.18) ：

式中的  是一變異貝索函數(Modified bessel functions)。

同樣地，其特徵方程式：

其中的  是貝索函數。( 詳見 Abramowitz and Stegun §9.1.20) 。若取一有限且接近0的實數 ，則維格納半圓分布成為一狄拉克δ函数 (Dirac delta function)。微分方程式 (Differential equation)

 與非古典機率的關係 

在 非古典機率 (free probability) 理論中，維格納半圓分布有著如同常態分佈 (Normal Distribution) 在古典機率中一樣的角色。
也就是說，在非古典機率中，累積量 (Cumulant) 的角色被"自由累積量" (free Cumulant、待翻譯)。

 參看 

 The W.s.d. is the limit of the Kesten–McKay distributions, as the parameter d tends to infinity.
 In number-theoretic literature, the Wigner distribution is sometimes called the Sato–Tate distribution. See Sato–Tate conjecture.
 Marchenko–Pastur distribution or Free Poisson distribution

 參考 

 Milton Abramowitz and Irene A. Stegun, eds. Handbook of Mathematical Functions with Formulas, Graphs, and Mathematical Tables. New York: Dover, 1972.

 相關連結 
Eric W. Weisstein et al., Wigner's semicircle 

Category:连续分布
Category:随机矩阵