拉梅函数

拉梅函数(Lame functions)是下列拉梅方程的解:王竹溪 第572页Whittaker p554Erdelyi  p55
雅可比形式
+
此拉梅方程的正则奇点在复数平面的
其中 p,q ∈Z,K代表模数为k的完全椭圆积分，K'代表模数为的完全椭圆积分。

其中 k,v 都是实数，并且 ,
代数形式

作雅可比橢圓函數变数替换得拉梅方程的代数形式：

,

此傅克型方程有四个正则奇点
魏尔斯特拉斯形式

其中是魏尔斯特拉斯函数
三角函数形式
在雅可比形式的拉梅方程中做代换Erdelyi  p 56

可得

在上列方程组 等是实数或复数常数，而各变量为复数。
拉梅方程的本征值
对于给定的参数v,k,存在四套实数本征值h,令拉梅方程的奇数解或偶数解有2K或4K周期Frank  Oliver p685。

 本征值 h  奇偶  周期   偶  2K   奇  4K   偶  4K   奇  2K
拉梅函数

与每一个本征值对应的本征函数，称为v阶拉梅函数，其记法及周期性列表于下：Frank, p684
 本征值 h  奇偶  周期  本征函数(拉梅函数)   偶  2K    奇  4K    偶  4K     奇  2K  
其中代表在（0,2K)区间内的零点数。

拉梅函数是Heun函数的特例
Heun方程

令=

则化为拉梅方程

拉梅方程的Heun函数解
由于拉梅方程式是Heun方程的特例，因此拉梅方程可以用HeunG函数表示Frank Oliver,p713

其中二个HeunG函数是线性无关的。

拉梅函数的幂级数展开
拉梅函数可以展开成幂级数形式王竹溪 第573页

其中只能取

例子

参考文献

王竹溪  郭敦仁 《特殊函数概论》 北京大学出版 2000
Whittaker and Watson, A Course of Modern Analysis 1920， Cambridge University Press  
Erdelyi, Higher Transcendental Functions  Vol  III

Category:特殊函数