广群

在数学中，尤其在范畴论和同伦论中，广群（groupoid，或勃兰特广群，Brandt groupoid）是对群的概念的抽象化。广群可被视为：
以偏函数取代二元运算的群；
所有态射都可逆的范畴。这一类范畴可被视作增加了一种一元运算，与群论中的逆元相对应。 只有一个对象的广群一般是群。

在存在依赖类型的情况下，一般来说，一个范畴可视作是类型化的幺半群；广群也可简单视作类型化的群。对象到对象的态射形成类型的依赖族，于是态射可以是类型化的、。于是组合是全函数：，于是。

广群的特例包括：
集合体（Setoid），即带有等价关系的集合；
G-集合，即带有G 的作用的集合。

广群常用于研究流形等几何物体。广群最先由海因里希·勃兰特于1927年引入，其思想暗含在勃兰特半群的概念中。

 定义 
广群指的是代数结构，包含非空集G与定义在G上的二元偏函数''。

 代数定义 
广群是具备一元运算与偏函数的集合G，当中的*不是二元运算，因为其不一定定义在G中所有的元素对上。这里不阐述定义*的确切条件，这些条件因情况而异。

运算*、−1有以下公理性质：：
 结合律：若定义了，则。
 逆元：、总有定义。
 单位元：若定义了，则。（由前两条性质可推知。）

从中可得到两个简单方便的性质：
 ；
 若定义了，则。第一个性质的证明：由公理2、3，可知将1式代入2式，再应用公理3：得证。
第二个性质的证明：由于定义了，于是是因此也定义了。进一步地，由于定义了，有也定义了。由公理3可知得证。

范畴论定义
广群是小范畴，其中每个态射都可逆，即是同构。更明确地说，广群G是对象集合，其中
 每对对象x、y，都有从x到y的态射（或箭头）的（可能是空）集合，其中的元素写作
 每个对象x，的指定元素
 对任意三个元素x、y、z都有函数
 对任意两个元素x、y都有函数
 、

 、
若则称x为f的源，记作；y称作f的目标，记作。广群G有时记作，当中是所有态射的集合，两个箭头代表源和目标。

更一般地，可以考虑任意范畴中的广群对象，其允许有限的纤维积。

定义比较
代数定义与范畴论定义等价，下面证明。给定范畴论定义广群，令G为所有集合的不交并（即x到y的态射的集合）；则、就成了G上的偏运算，而事实上在任意地方都可被定义。我们定义*为、−1为，这样就得到了代数定义的广群。可以不再明确提及（及）。

反过来，给定代数定义的广群G，用定义其元素上的等价关系：
，若令G0为的等价类集合，即。若且，用记a ∗ a−1。

现在定义为所有使存在的f的集合。给定其组合定义为这是良定义的，因为可观察到、都存在，也存在。这样，x的恒等态射就是，f的范畴论逆是f−1。

上述定义中的集合可用类代替，这在范畴论中很常见。

顶点群与轨道
给定广群G，其中的顶点群或迷向群或轨道群是的子群。从上述公理不难看出，它们确实是群，因为每对元素都可组合，且逆元都在同一个群中。

广群G在点处的轨道由集合给出，当中包含了可用G中的态射连接到x的每个点。若x、y两点在相同的轨道上，则它们的顶点群G(x)、G(y)群同构：若，则同构由给出。

轨道构成了集合X的一部分。若广群只有一个轨道（等价地是连通的），则称之为传递的。那么，所有顶点群都同构（另一方面，这不是传递性的充分条件，反例下详）。

子广群与态射
的子广群是子范畴，其本身是一个广群。若它是宽或满的子范畴，即都有或，则也称其为宽或满。

广群映射简单说就是两个（范畴论）广群间的函子。

有几种特殊的广群态射值得关注。若都有，使得，则广群的态射称作纤维化。若这样的e是唯一的，则纤维化称作覆盖态射或广群的覆盖。广群的覆盖态射很有用，可用来模拟空间的覆盖映射。J.P. May, A Concise Course in Algebraic Topology, 1999, The University of Chicago Press  (see chapter 2)
同样，给点广群B的覆盖态射范畴，等同于广群B对对集合的作用范畴。

 例子 
拓扑

给定拓扑空间X，令为集合X。从点p到点q的态射是p到q的连续路径的等价类，若两条路径同伦，就称它们等价。
先沿第一条路径，再沿第二条路径，两个这样的态射便组合到一起；同伦等价性保证这种组符合结合律。这样的广群称作X的基本广群，记作（有时是）。通常的基本群于是就是点x的顶点群。

基本广群的轨道是X的路径连通成分。相应地，路径连通空间的基本广群是传递的，我们恢复了已知的事实，即任意基点上的基本群是同构的。此外，基本广群和基本群这时作为范畴是等价的（一般理论见下文）。

这一思想的重要推广是考虑基本广群，其中是选定的基点集合。当中是的（宽）子广群，这里只考虑端点属于A的路径。集合A可据当前情况的几何形状来选择。

等价关系
若X是集合体，即具有等价关系的集合，则“表示”这等价关系的广群可由如下构成：
 广群对象是X的元素；
 有单态射，当且仅当；
与的组合是。
这个广群的顶点群总是平凡的；此外，这个广群一般不传递，其轨道正是等价类。有两个极端例子：

 X每个元素若都与X的其他元素有联系，则就得到了X的对广群，其以整个作为箭头集，且是传递的。
 X每个元素若只与自身有关系，就得到了单位广群，其以X为箭头集，，是完全不传递的（每个单子都是轨道）。

 例子 
若是光滑流形的光滑满射浸没，则是等价关系，因为在拓扑空间的满射下，Y与的商拓扑拓扑同构。若记则可得广群有时称为光滑流形的满射浸没的平庸广群。
若放宽自反性要求、考虑偏等价关系，则就可考虑关于集合的可计算实现子上的半可决定概念。这使得广群可用于集合论的可计算近似，称作PER模型。作为一个范畴，PER模型是具有自然数对象与子对象分类子的笛卡儿闭范畴，从而产生了马丁·海兰德所谓有效拓扑斯。

 切赫广群 

切赫广群是一类特殊的广群，与某个流形X的开覆盖所给出的等价关系相关联。其对象由不交并

给出，其箭头是相交
.
源映射与目标映射由诱导映射给出包含映射则给出了广群的结构。实际上，还可设置为n次迭代的纤维积来进一步扩展，其中表示n个可组合箭头的多元组。纤维积的结构映射隐含了目标映射，因为是笛卡儿图，其中到的映射是目标映射。这种构造可看作是某些∞-广群的模型；此外，这种构造的另一个产物是k-上循环对某个阿贝尔群之常数层可表为函数给出了上同调类的明确表示。

群作用
若群G作用于集合X，则可由如下方式组成代表群作用的作用广群或变换广群：
对象是X的元素；
，态射对应，使得；
态射的复合解释了G的二元运算。

更明确地说，作用广群是小范畴、，源映射和目标映射分别为、。通常表示为（对于右作用记为）。广群中的乘法（或组合）就是，定义条件是。

，顶点群由的组成，这只是给定作用在x处的迷向子群（这就是顶点群称为迷向子群的原因）。同样，作用广群的轨道是群作用的轨道，广群是传递的当且仅当群作用也有传递性。

另一种描述G集合的方法是函子范畴，当中是1个元素的广群（范畴），同构于群G。事实上，这个范畴的每个函子F都定义了集合（即对中的每个态射）诱导了双射：。函子F的范畴结构保证了F定义了集合G上的G作用。（唯一）可表函子F：是G的凯莱表示。事实上，这个函子与同构，因此将送到集合，后者的定义就是“集合”G和的态射g（即G的元素g）到集合G的置换。由米田嵌入推导出：群G同构于G的置换群的子群。

有限集
考虑在有限集上的群作用，其将每个数取负，于是、。商广群是这个群作用的等价类集合，在其上有群作用。

 商簇 
任何映射到的有限群G都会在仿射空间上产生群作用（由于这是自同构群）。于是，商广群的形式可以是，有一点的稳定子G位于原点。这样的例子构成了轨形理论的基础。另一个常研究的轨形族是加权射影空间及其子空间，如卡拉比-丘轨形。

广群的纤维积
给定具有广群态射的广群图

其中、，可组成广群，其对象为三元组，其中。态射可定义为一对态射，其中，使得对三元组中有的交换图。

同调代数
具体阿贝尔范畴中对象的二项复形

可形成广群。其对象是集合，箭头是集合；源映射只是到的映射，目标映射是对与d的组合跟到的映射的加法。也就是说，给定，有

当然，若阿贝尔范畴是概形上的凝聚层范畴，则这种构造可用于形成广群的预层。

 游戏 
魔方可用群论来建模（见魔方群），也有些游戏更适合用广群建模。An Introduction to Groups, Groupoids and Their Representations: An Introduction ; Alberto Ibort, Miguel A. Rodriguez; CRC Press, 2019.

数字推盘游戏的变换就是广群（不是群，因为并非所有移动都能复合）。Jim Belk (2008) Puzzles, Groups, and Groupoids , The Everything SeminarThe 15-puzzle groupoid (1) , Never Ending BooksThe 15-puzzle groupoid (2) , Never Ending Books这一广群作用作用于构型。

马蒂厄广群
马蒂厄广群是约翰·何顿·康威提出的作用于13个点的群，这样固定一个点的元素就构成了马蒂厄群M12的一个副本。

 与群的关系 

若广群只有一个对象，则其态射集构成群。由代数定义，这样的广群实际上就是群。 Mapping a group to the corresponding groupoid with one object is sometimes called delooping, especially in the context of homotopy theory, see .群论的许多概念都能推广到广群，用函子概念取代群同态。

每个传递/连通的广群（即如上所述，任意两对象都由至少一个态射相连）都与作用广群（如上定义）同构。根据传递性，这个作用下只有一个轨道。

注意刚才提到的同构不唯一，也没有自然的选择。为一个传递广群选择这样的同构实际上等于选择对象、群同构、态射。

若广群没有传递性，则就同构于上述类型的广群的不交并，也称作其连通成分（每个连通成分可能具有不同的群G与集合X）。

用范畴论的术语来说，广群的每个连通成分都等价（但不同构）于只有1个对象的广群，即单群。因此，任何广群都等价于无关群的多重集；换句话说，对等价（而非同构），我们不需要指定集合X，而只需指定群G。例如，

X的基本广群等价于X的每个路径连通成分的基本群的集合，但同构要指定每个成分的点集；
具有等价关系的集合X等价（作为广群）于每个等价类的平凡群的一个副本，但同构需要说明每个等价类；
具备群G的作用的集合X等价（作为广群）于作用的每个轨道的G的一个副本，但同构需要说明每个轨道是什么集合。

即使从范畴论的角度来看，把广群坍缩为单纯的群集合也会失去一些信息，因为是不自然的。因此，当广群以其他结构出现时，保持整个广群是有帮助的；否则就必须选择一种方法，以从单群的角度看待每个，而这一选择是任意的。在拓扑学的例子中，必须连贯地选择路径（或路径的等价类），从相同路径连通成分的每个p点到每个q点。

一个更有启发性的例子是，有自同态的广群的分类并不能归结为单纯的群论考虑。这类似于有一个自同态的向量空间的分类并不平凡。

广群的态射比群的更多样：例如，有纤维化、覆盖态射、泛态射、商态射。因此，群G的子群H会产生‘’G对G中H的陪集集的作用，从而产生K到G的覆盖态射p，其中K是顶点群与H同构的广群。这样，群G的表示就可以“提升”到广群K的表示，这是获取子群H的表现信息的有用方法。

 广群范畴 
对象是广群、态射是广群态射的范畴称作广群范畴，记作Grpd。

Grpd与小范畴相似，是笛卡儿闭范畴：对任意广群，我们都可以构造广群，其对象是态射、箭头是态射的自然等价。于是，若只是群，则这些箭头就是态射的共轭。主要结果是，对任何广群都有自然双射

即使所有广群都只是群，这个结果也有意义。

Grpd既是完全范畴，又是余完全范畴。

 与Cat的关系 
包含态射有左右伴随函子：

当中，表示反转每个态射的范畴局部化，表示所有同构的子范畴。

 与sSet的关系 
神经函子将Grpd嵌入为单纯集范畴的子范畴。广群的神经总是阚复形。

神经有左伴随

当中表示单纯集X的基本广群。

 Grpd中的广群 

广群范畴内部的范畴还可派生一种额外结构，即双重广群。因为Grpd是2范畴，这些对象构成了2范畴，比1范畴有额外的结构。本质上说，这些对象是具有函子的广群，以及由恒等函子给出的嵌入。思考这些2广群的一种方法是其包含对象、态射与可以纵横组合的方块。例如，给定方块与其中是同一个态射，则可以垂直相连，得到图可将垂直箭头转置，得到另一个方块。方块的横向连接也有类似规律。

 具有几何结构的广群 
研究几何对象时，产生的广群通常带有拓扑，使其成为拓扑广群；一些微分结构还能将其变为李广群。最后这些对象也可根据其相关的李代数胚进行研究，这与李群和李代数之间的关系类似。

从几何产生的广群通常具有与群乘法相互作用的结构。例如，泊松几何中有辛广群的概念，后者是具有相容辛形式的李广群。同样，也可拥有具备相容黎曼度量或复流形等结构的广群。

 另见 
∞-广群
2-群
同伦类型论

 脚注

参考文献

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