高斯-赛德尔迭代

高斯－赛德尔迭代（）是数值线性代数中的一个迭代法，可用来求出线性方程组解的近似值。该方法以卡爾·弗里德里希·高斯和命名。

 算法 
对于一个含有n个未知量及n个等式的如下线性方程组

为了求这个方程组的解，我们使用迭代法。k用来计量迭代步数。给定该方程组解的一个近似值。在求k+1步近似值时，我们利用第m个方程求解第m个未知量。在求解过程中，所有已解出的k+1步元素都被直接使用。这一点与雅可比法不同。对于每个元素可以使用如下公式

重复上述的求解过程，可以得到一个线性方程组解的近似值数列：。在该方法收敛的前提下，此数列收敛于. 可以證明數列收斂若線性方程組係數矩陣為對稱正定矩陣(symmetric positive definite matrix)或對角優勢矩陣(diagonally dominant matrix)。

为了保证该方法可以进行，主对角线元素需非零。

 矩阵分解 
线性方程组的系数可以被写成矩阵形式 , 该矩阵的第i行第j列元素满足 。方程组的右边项可以被写成向量形式 。 线性方程组因此可以被写成矩阵运算形式

矩阵可以分解成如下形式

,

其中为一个对角矩阵满足, 均为严格三角矩阵： 为严格下三角矩阵，  为严格上三角矩阵。

例子

， ， ， .

高斯－赛德尔迭代的每一步可以写成如下形式

.

{| class="toccolours collapsible collapsed" width="50%" style="text-align:left"
!此形式的导出
|-
|
如上形式来自于高斯－赛德尔迭代的元素公式: 对于第m个未知量, 我们可以得出

已知,  以及 ，因此可以得出

.
|}

 算法 

因为元素可以被重新赋值为在这个算法中计算得到的新值，所以只需要保存一个向量，而向量索引被省略。该算法如下：

 输入: , 
 输出: 
初始化一个的猜测结果
 repeat until convergence（收敛）
     for  from 1 until  do

         for  from 1 until  do
             if  ≠  then

             end if
         end ( - loop)

     end (-loop)
     check if convergence is reached（检查是否已收敛）
 end (repeat)

 參見 
雅可比法

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