库塔-儒可夫斯基定理

库塔-儒可夫斯基定理（Kutta–Joukowski theorem）是空气动力学的基本定理，計算機翼或是二維物體（例如圓柱）在均勻流體中的升力，且此流場的速度夠快，使物體的速度場是穩定及無分離的。定理顯示出，機翼產生的升力與機翼通過流體的速度、流體密度以及环量有所關聯。库塔-儒可夫斯基定理得名自德國科學家馬丁·威爾海姆·庫塔及俄國科學家尼古拉·葉戈羅維奇·茹科夫斯基，他們在二十世紀初首次提出這様的概念。库塔-儒可夫斯基定理是考慮壓力及升力的無粘性理論，不過在典型的空氣動力學應用中，可以用來模擬實際的黏性流。

對於圍繞機翼的流體，环量被定義為與閉合回路相切的「流體切線速度的線積分」Anderson, J.D. Jr., Introduction to Flight, Section 5.19, McGraw-Hill, NY (3rd ed. 1989.)，其速度的大小及方向會沿著路徑而改變。

库塔-儒可夫斯基定理建立升力和环量的關係，類似馬格努斯效應建立旋轉和側向力的關係一樣。不過此處的环量不是因為機翼的旋轉而產生，而是因為以下提及的機制而產生。由於機翼的存在，氣流的變化可以視為平移流場及旋轉流場（渦旋）的疊加。此旋轉流是由翼型的外傾角、攻角及銳利的後緣角所產生，不同於外形像龍捲風的渦旋。若離機翼夠遠時，旋轉流可以視為是由渦旋所引發的，渦旋的中心線平行二維平面。在描述機翼的库塔-儒可夫斯基定理時，一般會假設機翼是圓柱形或是其他的茹科夫斯基翼型。

升力公式
此定理和在二維流場中的翼型（或是翼展無窮大的圓柱）有關，可以計算單位翼展下的升力。當环量已知，其升力除以翼展下的單位翼展升力（或表示為）可以表示為以下的方程式Clancy, L.J., Aerodynamics, Section 4.5：

其中
及分別為流體密度及在翼型上游，遠離翼型位置的流體速度，
為以下線積分定義的环量（逆時針為正值）

上述环量是沿著一個封閉圍道進行，此圍道包覆著翼型或是圓柱，且沿著其正方向（逆時針）進行。其路徑需在位流的範圍內，不能在圓柱的邊界層內。被積分式是局部流體速度沿著曲線切線方向的分量，且為曲線的無窮小面積。方程式是库塔-儒可夫斯基定理中的一個形式。

Kuethe和Schetzer用以下的話描述库塔-儒可夫斯基定理：A.M. Kuethe and J.D. Schetzer, Foundations of Aerodynamics, Section 4.9 (2nd ed.)
任意截面積的柱形物體，其單位長度的受力等於，方向和垂直。

在使用库塔-儒可夫斯基定理時，需注意环量的計算。

环量和库塔條件
一個產生升力的翼型或者具有彎度，或者是在均勻的流體中以一定攻角（机翼弦线和平移方向的角度）平移。而且翼型需要有一個銳利的後緣。上述條件類似鳥的翅膀，有銳利的後緣，有彎度，在天空中有一定的攻角。

實際的流體是有黏性的，流體速度在翼型邊緣為零，因此若考慮黏性流體，且以翼型形狀為圍道計算環量，其環量也為零。甚至由翼形上方及下方的流體會在後緣相會，而黏滯耗散會使流體不旋轉。這稱為真實流場的库塔條件。普朗特發現若雷諾數夠大，攻角夠小，翼型夠薄，則流場可以分為靠近機翼小區域的黏滯層（稱為邊界層），以及其他區域的非黏性流。

库塔和儒可夫斯基發現在計算雷諾數夠大，攻角夠小，厚度夠薄的翼型之壓力和升力時，若假定已考慮库塔條件，可以假設整個流場是非黏性流。這稱為位流理論，在實務上結果相當接近。在非黏性流施加库塔條件相當於計算环量。

簡單來說，類似鳥翅膀的機翼自然會產生升力，在飛行中的流場滿足库塔條件。若使用位流理論（在計算壓力及升力時假設是非黏性流及無旋轉流，計算阻力時用普朗特邊界層來近似），要求飛行時間符合库塔條件，會得到一個由=库塔-儒可夫斯基定理和環量產生的升力，和實際的升力非常接近。

推導
以下有二種推導方式，第一個是基於物理的直覺，較启发式的推導，第二種是比較正式及技術式的推導，需要用到向量分析及複變分析的知識。

啟發式的推導
以較啟發式的說法，考慮一個薄的機翼，其翼弦為，有無限長的翼展，在密度為的空氣中移動。令翼和氣流有一個攻角，使翼的一側的氣流速度為，另一側的氣流速度為，因此其環流為

機翼兩側的壓力差可以由伯努利定律求得

因此單位翼展的浮力為

此理論的微分版本可應用在機翼中的每一個元素，也是薄翼理論（thin-airfoil theory）的基礎。

正式的推導
{| class="toccolours collapsible collapsed" width="60%" style="text-align:left"
!库塔-儒可夫斯基定理的正式推導
|-
|首先先計算任何截面積、單位長度的長條物體在流體中的受力Batchelor, G. K., An Introduction to Fluid Dynamics, p 406。先令單位長度的力（以下簡稱為力）為，因此總受力為：



其中C為長條物體的邊緣、為流體的靜壓、為和長條物體表面垂直的單位向量、ds是截面積邊緣的弧狀元素。令為法向量和垂直的夾角，上述力的分量為：



以下是重要步驟：將上述的二維空間當作複數平面，每個向量可以用複數表示，第一個分量對應其實部數值，第二個分量對應其虛部數值，因此上述的力可以表示為：



下一步是取力的共轭复数，再做一些處理：



表面元素ds和dz的變化有關：



將這些代入積分中，可得：



接下來為了將壓力移出積分以外，應用伯努利定律。假設沒有其他外在的力場，流體的質量密度為，壓力和速度有以下的關係：



將上式代入力的積分式，可得：



還剩下一個步驟要進行：引入，流場的複變勢函數，和速度分量的關係是，其中撇号表示對複數變數z的微分。速度會相切於邊緣C，因此，則，受力的表示式可以改寫為下式：



稱為布拉乌斯-恰普雷金公式（[Blasius–Chaplygin formula）。

若要得到库塔-儒可夫斯基定理，需計算上述積分的值，根據複變分析可知，一個全纯函数可以用洛朗級數來表示，根據此問題的物理特性，複變勢函數的微分會如以下所示：



因為在無窮遠處的速度為有限值，此函數沒有其他高階項。因此即為此函數在無窮遠處的導數：. 
下一個任務是找出的意義，根據留數定理可得



再計算以下的積分：



第一個積分即為环量，可以用表示，第二個積分可以用以下方式計算：



此處為，因為邊界C本身即為流線，因此在上面流函數不會變化，即，因此第二個積分為零，因此：

複變勢函數取平方：



將上式代入布拉乌斯-恰普雷金公式中，利用留數定理算積分：



因此库塔-儒可夫斯基定理為：


|}

較複雜情形下的升力
库塔-儒可夫斯基定理預測的升力是以無粘性流的勢流理論為基礎，但若流場是穩定且無分離的，库塔-儒可夫斯基定理的結果很接近實際的黏性流Anderson J  Fundamentals of Aerodynamics, Mcgraw-Hill Series in Aeronautical and Aerospace Engineering, McGraw-Hill Education, New York 2010。

在推導库塔-儒可夫斯基定理時，有假設流場是無旋轉流，若在物體外有自由渦流，就像許多不穩定流的情形，此流場為旋轉流，在推導升力時就需要一些更複雜的理論。

小攻角下突然啟動的流場：若是機翼突然加速，或是攻角較小的情形下突然啟動的流場，在機翼後緣會連續的出現泄离，此時的升力是時變不穩定的。若是小攻角下啟動的流場，涡片會延著平面的路徑，升力係數的曲線會隨時間而變化，其形式會是Wagner函數Wagner H  Uber die Entstehung des dynamischen Auftriebes von Tragflueln. Z. Angew. Math. Mech.1925, 5, 17.。此時最終升力會如同库塔-儒可夫斯基定理所預測的一樣，但初升力只有最終升力的一半Saffman PG Vortex dynamics, Cambridge University Press, New York, 1992 .。當機翼前進七倍翼弦的距離時，其升力才會達到最終升力的90%。

大攻角下突然啟動的流場：若攻角夠大的話，機翼後緣的涡片一開始會是螺旋形的，理論升力在一開始會是無限大Graham JMR，The lift on an aerofoil in starting flow |publisher= Journal of Fluid Mechanics, 1983, vol 133, pp 413-425。一般認為升力的曲線是隨時間單調遞增的，但在大攻角下，會有一段很短暫的時間會有升力下降的情形。

大攻角下啟動，有銳利的機翼前緣：若針對一片平粄，也有銳利的前緣，涡片泄离會出現在前緣，而前緣的涡片泄离有二種不同的效果：
1.若仍接近前緣，可以提昇Wagner升力曲線，可以增加升力。
2.若前緣的涡片泄离和後緣有關，引入新的後緣螺旋形涡片，延著升力增加的方向移動，則會破壞升力。
對於這種流場，涡升力线（VFL）圖可以用來了解不同情形下涡流帶來的效果（包括流場啟動及其他的條件），也可以控制涡流以增強或降低升力。涡升力线圖是一個二維的圖，其中會繪出涡升力线，其對升力的貢獻和其速度、環量及渦升力線和流線的餘弦成正比，因此渦升力線可以看出涡流對升力的提升或破壞程度。

Lagally定理：若在機翼外面有固定的渦源，其對升力的修正可以表示為渦源的強度，及因其他因素造成渦源處誘導速度，這稱為Lagally定理。Milne-Thomson LM  Theoretical Hydrodynamics[p226], Macmillan Education LTD, Hong Kong.1968。
針對二相的非黏性流，傳統的库塔-儒可夫斯基定理預測阻力為零，不過若機翼外有渦源，會產生阻力，其形成原因類似升力。

相關條目
馬格努斯效應
马蹄形旋涡
升力係數
庫塔條件
翅膀

參考資料

 Batchelor, G. K. (1967) An Introduction to Fluid Dynamics, Cambridge University Press
 Clancy, L.J. (1975), Aerodynamics, Pitman Publishing Limited, London ISBN 0-273-01120-0
 A.M. Kuethe and J.D. Schetzer (1959), Foundations of Aerodynamics, John Wiley & Sons, Inc., New York ISBN 0-471-50952-3

Category:空气动力学
Category:流体动力学
Category:物理定理