次调和函数

次调和函数（subharmonic）是數學上對函數的一種分類，常用在偏微分方程、複變分析及位勢論中。

次调和函数類似單變數的凸函数。若一凸函数和一線段相交於二點，在這二點內凸函数的圖形會在線段的下方。相似的，若在次调和函数在球邊界上的值不大於调和函数的值，則若在次调和函数在球內的值也不大於调和函数的值。

若將以上的「不大於」改為「不小於」，就可以定義過調和函數（Superharmonic）。過調和函數其實就是次调和函数的加法逆元，因此有關次调和函数的性質都可以轉換為過调和函数的對應性質。
正式定義
次調和函數的正式定義可以表示如下。令是欧几里得空间 的子集，且令

為上半連續函數。則稱為次調和函數，若針對所有內，球心為，半徑為的閉球，以及閉球內的實值连续函数，在上為调和函数，且在邊界上的每一個，都可以使成立。也就可以得到在所有都成立。

若函數為次調和函數，則函數即為過調和函數。

性質
 一函數為调和函数当且仅当其為次调和函数且是過调和函数。 
 若在內的开集中為C2（二次連續可微），則為次調和函數当且仅当在內成立，其中為拉普拉斯算子。
 次調和函數的最大值在其內部的條件是該函數為常數，此為，王過，次調和函數的最小值可以在其內部。
 次調和函數形成凸锥，也就是說，次調和函數正係數的線性組合，仍為次調和函數。
 二個次調和函數的也是次調和函數。
 次調和函數的遞減級數的極限也是次調和函數。
在一般的拓樸下，次調和函數不一定是連續的。不過可以引進使其連續。

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腳註

參考資料


Category:位势论
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