霍普菲尔德神经网络

霍普菲爾德神经网络(Hopfield neural network)是一种循环神经网络，由约翰·霍普菲尔德在1982年发明。Hopfield网络是一种结合存储系统和二元系统的神经网络。它保证了向局部极小的收敛，但收敛到错误的局部极小值（local minimum），而非全局极小（global minimum）的情况也可能发生。霍普菲尔德网络也提供了模拟人类记忆的模型。

 构造 
霍普菲尔德网络的单元是二元的（binary），即这些单元只能接受两个不同的值，并且值取决于输入的大小是否达到阈值。Hopfield网络通常接受值为-1或1，也可以是0或者1。输入是由sigmoid函数处理得到的。 sigmoid函数定义为：

，

用于将输入化简为两个极值。

每一对霍普菲尔德网络的单元i和j间都有一对以一定权重（weight）的连接。因此，霍普菲尔德网络可被描述为一个完整的无向图，其中是人工神经元集合而  为一函数，其连结(link)单元对(pairs of units)至连接性权重(the connectivity weight)。 

霍普菲尔德网络的连接有以下特征：
  （没有神经元和自身相连）
  （连接权重是对称的）

权重对称的要求是一个重要特征，因为它保证了能量方程（称向函数某一点收敛的过程为势能转化为能量）在神经元激活时单调递减，而不对称的权重可能导致周期性的递增或者噪声。然而，霍普菲尔德网络也证明噪声过程会被局限在很小的范围，并且并不影响网络的最终性能。

更新
使用下述公式更新霍普菲尔德中节点的值:

公式中：
  是节点j到节点i的权重。
  节点i的值（状态s）.
  节点i的阈值，常为0.

霍普菲尔德的更新有两种方式：
 异步: 每个更新一个节点。此节点可以是随机选中的，也可是按照预设顺序选中的。
 同步: 同时更新所有节点的状态。这种更新方式要求系统中具有中央时钟以便维持同步。这种方式被认为是不太现实的，因为在生物或物理系统中常常没有中央时钟（用于保持同步状态，即各个节点常常是自行其是的。）

参见
 玻尔兹曼机 – 像一个霍普菲尔德网络，可采用退火吉布斯抽样代替梯度下降
受限玻尔兹曼机
 易辛模型
 赫布理论

参考文献

 J. J. Hopfield, "Neural networks and physical systems with emergent collective computational abilities", Proceedings of the National Academy of Sciences of the USA, vol. 79 no. 8 pp. 2554–2558, April 1982.

 Hebb, D.O. (1949). Organization of behavior. New York: Wiley

 Hertz, J., Krogh, A., & Palmer, R.G. (1991). Introduction to the theory of neural computation. Redwood City, CA: Addison-Wesley.

 McCullough, W.S., & Pitts, W.H. (1943). A logical calculus of the ideas immanent in nervous activity. Bulletin of Mathematical Biophysics,5, 115-133

 Polyn, S.M., & Kahana, M.J. (2008). Memory search and the neural representation of context. Trends in Cognitive Sciences, 12, 24-30.

 Rizzuto, D.S., & Kahana, M.J. (2001). An autoassociative neural network model of paired-associate learning. Neural Computation, 13, 2075-2092.

 Kruse, Borgelt, Klawonn, Moewes, Russ, Steinbrecher (2011). Computational Intelligence.

 外部链接 

 Chapter 13 The Hopfield model of Neural Networks - A Systematic Introduction by Raul Rojas (ISBN 978-3-540-60505-8)
Hopfield Neural Network Applet
Hopfield Neural Network implementation in Ruby (AI4R)
The Travelling Salesman Problem - Hopfield Neural Network JAVA Applet
scholarpedia.org- Hopfield network - Article on Hopfield Networks by John Hopfield
Hopfield Network Learning Using Deterministic Latent Variables - Tutorial by Tristan Fletcher
Neural Lab Graphical Interface - Hopfield Neural Network graphical interface (Python & gtk)

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