四元数与空间旋转

单位四元数（Unit quaternion）可以用于表示三维空间裡的旋转。它与常用的另外两种表示方式（三维正交矩阵和欧拉角）是等价的，但是避免了欧拉角表示法中的万向锁问题。比起三维正交矩阵表示，四元数表示能够更方便地给出旋转的转轴与旋转角。

基本方法
用四元数来表示旋转要解决两个问题，一是如何用四元数表示三维空间裡的点，二是如何用四元数表示三维空间的旋转。

 四元数表示空间中的点 
若三维空间裡的一个点的笛卡尔坐标为 (,,)，则它用纯四元数（类似于纯虚数，即实部为0的四元数）++ 表示。

 单位四元数表示一个三维空间旋转 
设  为一个单位四元数，而  是一个纯四元数，定义

则 () 也是一个纯四元数，可以证明  确实表示一个旋转，这个旋转将空间的点  旋转为空间的另一个点 ()。

 与正交矩阵表示的关系 
四元数的表示与正交矩阵表示是等价的，这可以通过直接的代数计算得到。

仿照关于单位复数的欧拉公式的证明方法，可以得到单位四元数的欧拉公式：

显然，当 =1, ==0 的时候就回到一般的欧拉公式。

设

（通过下面的计算可以知道，=0，即计算结果是纯四元数）

则

为简便起见，令

省略号表示由第一项通过简单的轮换可以得到的项。最后得到四元数的矩阵表示为

设

运用简单的三角恒等变形可以得到，


容易验证，()是正交矩阵，且行列式为+1，于是我们得到了四元数对应于正交矩阵的关系。即我们证明了的确表示三维空间中的一个旋转。进一步由旋转的正交矩阵表示的相关知识知，上式中的  就是旋转角。

 旋转轴与旋转角 
由四元数的结合律马上可以得到，若为单位纯四元数，则

这表明在旋转操作下不变，也就是给出旋转的旋转轴（当然也给出旋转的旋转轴），不妨取=，由四元数的欧拉公式我们马上知道，任给一个单位四元数，计算它的虚部，我们就马上可以知道转轴是什么。

同时，根据四元数的正交矩阵表示，我们又可以马上得到，计算一个单位四元数的实部，它的反余弦值给出旋转角的一半。于是我们马上可以看到用四元数相对于正交矩阵表示的优势：在四元数表示下，计算转轴和旋转角变得异常简单。

进一步地，这表明了三维空间中的每一个旋转都可以用单位四元数表出。若进一步要求  非负，则这种表出是唯一的。

 旋转操作的复合 
显然有：

于是两个旋转操作的复合，只需要将对应的单位四元数相乘，这一点比欧拉角表示要简单。

 与超球面、典型群、自旋群的关系 
首先很容易看到，单位四元数与3-球面3（或三维实射影空间，RP3）同构。

其次，根据单位四元数的矩阵表示，我们又知道，存在一个单位四元数到特殊正交群 SO(3) 的同态，但这不是同构。给定一个角 ， 2π+ 与  对应的正交矩阵相同，但是由欧拉公式给出的单位四元数不同（恰好相反）。实际上，这反映了在三维空间中旋转 2π 弧度和旋转 4π 弧度是不等价的，参见旋量。

事实上，单位四元数群与自旋群 Spin(3) 同构。这也表明，3与自旋群 Spin(3) 同构。进一步地，它们微分同胚。

另一方面，单位四元数群与复数域上的2-球面同构，于是与特殊正交群 SO(2,C) 同构，而后者实际上就是特殊酉群 SU(2)。3 与 SU(2) 也是微分同胚的。

参考

Simon L. Altman (1986) Rotations, Quaternions, and Double Groups, Dover Publications.
Du Val, Patrick (1964), "Homographies, quaternions, and rotations". Oxford, Clarendon Press (Oxford mathematical monographs). LCCN 64056979

 外部連結 
 線代啟示錄—四元數與三維空間旋轉
 四元數與旋轉

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