特定指数的费马大定理的证明

费马大定理的完整证明是一个艰深的过程，但是，对于某些特定的指數n，其证明并不算十分复杂，因此在此展示费马大定理的特例证明。

 n=4 
证明没有全不为0的整数解。

 预备知识 
假设x,y,z是满足的一组互质的整数解，那么存在互质的整数a,b，使得。

 证明过程 
 1 
假设(x,y,z)为方程一个解并且x,y互质，y为偶数，则，其中，a、b互质，a、b的奇偶性相反。由得a必定是奇数，b必定是偶数。

 2 
另外，亦得，再从此得，其中，c、d互质，c、d的奇偶性相反。

 3 
最后有，由此得c、d和为平方数。于是可设,即。换句话说，(e,f,g)为方程的另外一个解。但是，。就是说如果我们从一个z值出发，必定可以找到一个更小的数值 g,使它仍然满足方程。如此类推，我们可以找到一个比g更小的数值，同时满足上式。但是，这是不可能的！因为z为一有限值，这个数值不能无穷地递降下去！由此可知我们最初的假设不正确。

所以，方程没有正整数解。

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