动量映射

在数学，尤其在辛几何中，动量映射是一个与辛流形上的李群的哈密顿作用有关的工具，可用于构造作用的守恒量。动量映射推广了经典的 动量和角动量。它在各种辛流形的建立中是一个重要的部分，包括将会在后面讨论的symplectic (Marsden–Weinstein) quotients，以及symplectic cuts和sums。

正式定义
令 M 是一个配有辛形式 ω 的流形。假定一个李群 G 通过辛同胚作用在 M 上（也就是每个 G 中的 g  保持 ω ）。令  是 G 上的李代数， 是它的对偶，且令

是两者间的pairing。任一中的ξ诱导了 M 上的一个向量场 ρ(ξ) 以描述ξ的无限小作用。更精确地说，向量场  在M上一点x是

其中  是指数映射并且  表示 M 上的 G-作用。The vector field ρ(ξ) is called sometimes the Killing vector field relative to the action of the one-parameter subgroup generated by ξ. See，for instance，令  表示 向量场与 ω 的缩并。由于 G 通过辛同胚作用，它意味着对于  中所有的ξ， 是闭形式。

一个在(M，ω)上的 G-作用的动量映射是一个映射 ，对于  中所有的ξ满足

。这里  是通过  定义的从 M 到 R 的函数。动量映射在差一个积分的常数的程度上是唯一定义的。

一个动量映射经常也要求是 G-等价的，这里 G 通过余伴随作用作用在  上。如果群是紧的或半单的，那么总是选择积分常数使动量映射是余伴随等价的; 但是通常余伴随作用必须被修正以使映射等价(this is the case for example for the Euclidean group). The modification is by a 1-cocycle on the group with values in ，as first described by Souriau (1970).

哈密顿群作用
动量映射的定义要求 是闭形式。在实际中一个更强的假定是有用的。G-作用被称作是哈密顿的当且仅当当以下的条件满足。首先，对于  中的每一个ξ，1-形式  是恰当的，这意味着它对于一些光滑函数

等于  。
如果这成立，那么我们可以选择  使映射  为线性。第二个使G-作用是哈密顿的要求是映射  是一个从  到 M 在泊松括号下的光滑函数的代数的李代数同态。

如果 G 在(M，ω)上的作用在这个意义上是哈密顿的，那么一个动量映射是映射  ，这样  定义了一个李代数同态  满足 . 这里  是一个由哈密顿函数  通过

定义的向量场。
例子
In the case of a Hamiltonian action of the circle G = U(1)，the Lie algebra dual  is naturally identified with R，and the 动量映射 is simply the Hamiltonian function that generates the circle action.

Another classical case occurs when M is the cotangent bundle of R3 and G is the Euclidean group generated by rotations and translations. That is，G is a six-dimensional group，the semidirect product of SO(3) and R3. The six components of the 动量映射 are then the three angular momenta and the three linear momenta.

 Symplectic quotients 
Suppose that the action of a compact Lie group G on the symplectic manifold (M，ω) is Hamiltonian，as defined above，with 动量映射 . From the Hamiltonian condition it follows that  is invariant under G.

Assume now that 0 is a regular value of μ and that G acts freely and properly on . Thus  and its quotient  are both manifolds. The quotient inherits a symplectic form from M; that is，there is a unique symplectic form on the quotient whose pullback to  equals the restriction of ω to . Thus the quotient is a symplectic manifold，called the Marsden–Weinstein quotient，symplectic quotient or symplectic reduction of M by G and is denoted . Its dimension equals the dimension of M minus twice the dimension of G.

参见
 Poisson-Lie group
 Toric manifold
 Geometric Mechanics
 Kirwan map

注释

参考资料
 J.-M. Souriau, Structure des systèmes dynamiques, Ma?trises de mathématiques, Dunod, Paris, 1970. ISSN 0750-2435.
 S. K. Donaldson and P. B. Kronheimer, The Geometry of Four-Manifolds, Oxford Science Publications, 1990. ISBN 0-19-850269-9.
 Dusa McDuff and Dietmar Salamon, Introduction to Symplectic Topology, Oxford Science Publications, 1998. ISBN 0-19-850451-9.



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