交錯八邊形鑲嵌

在幾何學中，交錯八邊形鑲嵌是一種半正雙曲面鑲嵌，由三角形和正方形組成，在施萊夫利符號中用或h{8,3}表示。交錯八邊形鑲嵌是指正八邊形鑲嵌經過交錯變換產生的鑲嵌圖。

交錯八邊形鑲嵌也可以算是一種雙曲面上的三角形-正方形鑲嵌。

交錯八邊形鑲嵌具有[(4,3,3)], (*433)的對稱性，在約翰·康威的軌形符號中以433表示Paper presented to the 8th International Conference on Geometry, Nahsholim (Israel), March 7–14, 1999.。

 幾何 
雖然每一條邊都是直線（曲面上的直線），但由於曲面不易製作或繪製，因此需要投影，然投影過程扭曲了直線成了曲線，因此要檢視其形狀可以透過平移所需要的點到龐加萊雙曲圓盤的中心來檢視其幾何結構John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations)，此時曲線會接近直線。
160px三角形在中心雙曲面直邊160px邊在中心雙曲面直邊160px頂點在中心雙曲面直邊

 表面塗色 
不同的表面塗色方式可以得到不同的對稱性，並代表著不同的幾何結構 (Chapter 2.1: Regular and uniform tilings)，例如：
一種顏色交錯正八邊形鑲嵌二種顏色截半交錯八邊形鑲嵌四種顏色扭稜八階正方形鑲嵌160px160px160px

 對偶鑲嵌 
240px

 在藝術中 

圓極限III中包含了交錯八邊形鑲嵌的結構。圓極限III是一個M. C. Escher在1959年製作的木刻版畫作品，魚串就像從無限遠射出來的火箭，然後又再次降落回他們的出發地，並與邊界垂直。圖中白色曲線通過每一條魚的中間，劃分成正方形和三角形在交錯八邊形鑲嵌的圖案。 然而，在交錯八邊形鑲嵌中，每個曲線都是雙曲面上的線段，而在艾雪的木刻中，曲線是超圓形的弧.。

 相關多面體及鑲嵌 
交錯八邊形鑲嵌是一系列交錯三階正多邊形鑲嵌和多面體的其中之一，該系列只包含偶數邊的正多邊形，因為只有偶數邊形才可進行交錯變換，由於交錯變換會使邊數減半，例如本例正八邊形交錯變成正方形，所以正七邊形不能交錯，因為沒有正三點五邊形。
+ 交錯2n邊形鑲嵌系列：球面鑲嵌多面體歐式鑲嵌緊湊雙曲鑲嵌仿緊空間非緊空間n123456∞2n邊形鑲嵌{2,3}{4,3}{6,3}{8,3}{10,3}{12,3}{∞,3}交錯2n邊形鑲嵌50pxh{2,3}50px50px50pxh{8,3}50px 50px ...50pxh{∞,3}50px|link=偽多邊形#鑲嵌與密鋪
交錯八邊形鑲嵌可以透過截角操作或其他康威變換得到一系列與之相關的半正鑲嵌，其與交錯八邊形鑲嵌擁有相似的對稱性[(4,3,3)], (*433)或[(4,3,3)]+, (433)：
+ 半正 (4,3,3) 鑲嵌對稱群：[(4,3,3)], (*433)[(4,3,3)]+, (433)64px64px64px64px64px64px64px64pxh{8,3}t0{(4,3,3)}{(4,3,3)}r{8,3}t0,1{(4,3,3)}r{(3,4,3)}h{8,3}t1{(4,3,3)}]]{(3,3,4)}h2{8,3}t1,2{(4,3,3)}r{(4,3,3)}{3,8}t2{(4,3,3)}]{(3,4,3)}h2{8,3}t0,2{(4,3,3)}r{(3,3,4)}t{3,8}t0,1,2{(4,3,3)}t{(3,4,3)}s{3,8} s{(3,4,3)}半正對偶60px60px60px60px60px60px60px60pxV(3.4)3V3.8.3.8V(3.4)3V3.6.4.6V(3.3)4V3.6.4.6V6.6.8V3.3.3.3.3.4
交錯八邊形鑲嵌也可以從八階正方形鑲嵌以考克斯特結構(4,4,4)透過截角操作或其他康威變換得到的半正鑲嵌，由於對應的鑲嵌是八階正方形鑲嵌，因此與八階正方形鑲嵌擁有相似的對稱性[(4,4,4)], (*444)或[(4,4,4)]+(444)：
+ 半正(4,4,4)鑲嵌對稱群：[(4,4,4)], (*444)[(4,4,4)]+(444)[(1+,4,4,4)](*4242)[(4+,4,4)](4*22)65px65px65px65px65px65px65px64px65px65pxt0{(4,4,4)}t0,1{(4,4,4)}t1{(4,4,4)}t1,2{(4,4,4)}t2{(4,4,4)}t0,2{(4,4,4)}t0,1,2{(4,4,4)}s{(4,4,4)}h{(4,4,4)}hr{(4,4,4)}半正對偶65px65px65px65px65px65px65px64px65px65pxV(4.4)4V4.8.4.8V(4.4)4V4.8.4.8V(4.4)4V4.8.4.8V8.8.8V3.4.3.4.3.4V88V(4,4)3

 參見 

圓極限III
正方形鑲嵌

 注釋 

 參考文獻 
 John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations)

 Douglas Dunham Department of Computer Science University of Minnesota, Duluth
 Examples Based on Circle Limits III and IV , 2006:More “Circle Limit III” Patterns , 2007:A “Circle Limit III” Calculation , 2008:A “Circle Limit III” Backbone Arc Formula 

 外部連結 

 Hyperbolic and Spherical Tiling Gallery
 KaleidoTile 3: Educational software to create spherical, planar and hyperbolic tilings 
 Hyperbolic Planar Tessellations, Don Hatch

Category:镶嵌
Category:雙曲面鑲嵌