傅里叶正弦、余弦变换

在数学中，傅里叶正弦和余弦变换是傅里叶变换不使用复数的表达形式。它们最初被约瑟夫·傅里叶使用并仍在某些应用中有所擅长，如信号处理和概率统计。

定义
方程  的傅里叶正弦变换，有时也被表示为 or ，有



或 

如果  代表时间，那么  就是单位时间周期内的频率，但抽象来说，它们可以是互相关联的任何一对变量。

这个变换必须是频率的奇函数，即对所有的 ：

傅里叶变换中的数值因子仅由它们的乘积定义。为了让傅里叶逆变换公式不包含任何数值因子，因子 2 出现因为对正弦函数有
 norm of 

方程  的傅里叶余弦变换，有时也被表示为或，有

这个变换必须是频率的偶函数，即对所有的 ：

一些著者Mary L. Boas，在《Mathematical Methods in the Physical Sciences》，第二版，John Wiley & Sons Inc, 1983. ISBN 0-471-04409-1仅定义了  的偶函数的余弦变换，在这种情形下正弦变换为 0。因为余弦也是偶函数，所以可以使用更简单的公式：



相似地，如果  是奇函数，那么余弦变换就为 0 且正弦变换简化为：

傅里叶逆变换
按照通常的假设，原始方程  可以从变换形式中复原。即  和它的两种变换都是绝对可积的。更多不同的假设，参见傅里叶逆变换。

逆公式是：

它有一个优点是所有频率都是正数且所有量都是实数。如果省略变换中的因子 2，那么逆公式通常写为正和负频率的的积分。

用余弦的变换公式，可以再表示为：

这里  表示  当  从上方趋近于零的一边极限。且  表示  当  从下方趋近于零一边的极限。

如果原始方程  是偶函数，那么正弦变换就为零；如果  是奇函数，那么余弦变换就为零。在任何一种可能中，逆变换方程都可以化简。

 与複指数的关系 
如今用得更为广泛的傅里叶变换的形式是

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参考
 Whittaker, Edmund, and James Watson, A Course in Modern Analysis, Fourth Edition, Cambridge Univ. Press, 1927, pp. 189, 211

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