無限面體

無限面體（），是多面體的一種，意指有無限個面、無限條邊和無限個頂點的多面體。一般是指所有的平面密鋪的集合。

在歐幾里得幾何中，無限面體是一個退化多面體，其面數是可數集的數量，其邊數與頂點數將符合V-E+F= 2，但只能利用求極限得出。無限面體跟多面體一樣，有面、邊、頂點、和角，角也包含有二面角，只是他們全部共面。無限面體並不是球，因為在多面體的定義中，面不能為曲面、邊不能為曲線。

無限面體為無限邊形在三維空間的類比，與平面鑲嵌是等價的。無限面體可以密鋪空間，如同無限邊形密鋪平面，兩個無限面體面體即可堆砌填滿整個空間，這種幾何結構稱為二階無限面體堆砌。

一般對兩種主要無限面體類型有研究：
平面密鋪或鑲嵌
扭歪無限面體。

 正無限面體 

正無限面體是正多面體的一種，是指每個面都全等、每條邊都等長、每個角都等角的無限面體，就如同一般的正多面體。其二面角為180度，為一平角。

滿足這些條件的幾何圖形只有平面鑲嵌，在施萊夫利符號中用{p,q}表示，其中p、q滿足等式(p-2)(q-2) = 4。
图像 100px三角形鑲嵌 100px正方形鑲嵌 100px六邊形鑲嵌施萊夫利符號{3,6}{4,4}{6,3}
正無限面體可以有外接球和內切球，但他們的半徑必須是無限大。

 無限胞體 

無限胞體（）意指有無限個面、無限個胞、無限條邊和無限個頂點的多胞體。

其性質皆與無限面體相似，由空間密鋪即空間堆砌組成。四维空間的正無限胞體只有一種，即立方體堆砌John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, Architectonic and Catoptric tessellations, p 292-298, includes all the nonprismatic forms)。
維度 三維退化四維 四維退化五維图像 100px立方體堆砌 100px超立方體堆砌 100px十六胞體堆砌施萊夫利符號{4,3,4}{4,3,3,4}{3,3,4,3}

 扭歪無限面體 
320px|thumb|一個扭歪無限面體的例子

扭歪無限面體也是一種無限面體，其與一般無限面體差異在於扭歪無限面體並非所有頂點都共面，可以視為無限邊形與扭歪無限邊形之差異在三維空間的類比。

所有面都全等、角也相等的扭歪無限面體為正扭歪無限面體。三維空間的正扭歪無限面體有三種：
圖像 100px四角六片四角孔扭歪無限面體 100px六角四片四角孔扭歪無限面體 100px六角六片三角孔扭歪無限面體施萊夫利符號{4,6|4}{6,4|4}{6,6|3}

 雙曲空間 
此外，由於雙曲鑲嵌也是由無限多個雙曲平面構成的圖形，因此雙曲鑲嵌也可以做為一種無限面體Garner, C. W. L. Regular Skew Polyhedra in Hyperbolic Three-Space. Canad. J. Math. 19, 1179–1186, 1967.   Note: His paper says there are 32, but one is self-dual, leaving 31.。
圖像 100px七階三角形鑲嵌 100px五階正方形鑲嵌 100px四階五邊形鑲嵌 100px四階六邊形鑲嵌 100px七邊形鑲嵌施萊夫利符號{3,7}{4,5}{5,4}{6,4}{7,3}

 參見 
無限邊形
無限胞體

 參考文獻 

  p.296, Table II: Regular honeycombs
  Peter McMullen, Egon Schulte, Abstract Regular Polytopes, Cambridge University Press, 2002. ISBN 0-521-81496-0 (Page 25)
   Chapter 5: Polyhedra packing and space filling
  Critchlow, K.: Order in space.
  Pearce, P.: Structure in nature is a strategy for design.

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