Powerful p-群

在數學的群論中，特別在p-群和pro-p-群的研究中，powerful p-群是一個起著重要作用的概念。這個概念是在引入的，該文中並給出了幾個應用，包括Schur乘子的一些結果。powerful p-群用於p-群的自同構研究，受限制的Burnside問題的解答，以coclass猜想作出的有限p-群分類，及給出了很好的方法去理解解析pro-p-群 。

正式定義
有限p-群稱為powerful，於為奇數時，若交換子子群包含在子群內，而於p=2時若包含在子群內。

powerful p-群的性質
powerful p-群有很多性質與阿貝爾群類似，所以可作為p-群研究的好的基礎。每個有限p-群可以表示為一個powerful p-群的section。

powerful p-群也可用於研究pro-p群，因為powerful p-群提供了簡單方法去描繪p-進解析群（在p-進數上為流形的群）的特性：一個有限生成pro-p群是p-進解析的，當且僅當這個群包含一個powerful的開正規子群。這是Michel Lazard(1965)一個深刻結果的特例。

一些與阿貝爾p-群相似的性質有：若是powerful p-群，則：
 的Frattini子群有性質
 對所有。就是以次冪生成的群，正是次冪的集合。
 對所有，若，則。
 對所有，的下中心序列的第k位有性質。
 powerful p-群的每個商群都powerful。
 的Prüfer秩等於的生成元的最小數目。

一些不太像阿貝爾群的性質有：若是powerful p-群，則
 是powerful。
 的子群不一定是powerful。

參考
 Lazard, Michel (1965), Groupes analytiques p-adiques, Publ.Math.IHES 26 (1965), 389-603.






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