德布罗意方程组

德布羅意方程組是描述物質波的方程組，其描述了波长  与动量 、频率  与总能  之间的关系。

路易·德布羅意受光的波粒二象性启发，认为微观粒子也有波粒二象性。描述波的物理量为频率、波长；而描述粒子的物理量为能量、动量，德布罗意方程便将这两组物理量联系在一起。

 德布罗意方程组 （The de Broglie Relations）
德布罗意方程組：

其中
 為約化普朗克常數
 為波数
 為角频率
於是可以得到另一种表示方式：

 方程推导 
本段落描述的推导是诸多合法的推导的其中一种，它以质能方程和普朗克關係式为基础，进行替换和变形得到结果。
首先，引入爱因斯坦的质能方程：

然后，引入普朗克關係式：

德布罗意認為粒子与波具有相同的特性（即在物质世界的量化描述中二者可以被视作是同一的），所以他假设二者的效能是等同的：

由于实际粒子并非以真空光速游动，所以德布罗意用 v 代替 c (光速)，得到

代入 ，得到：

这便是為波长与粒子速度的关系式。

于是有：

因此得出：

 低速近似 
上述推导是普适的（理论上的），然而在微观低速的情况下，人们难以直接得到微粒的动量，因此也难得微粒的德布罗意波长λ。
幸运的是，我们可知在低速条件下有E=p2/2m，
所以此时德布罗意波长可以由动能和微粒质量表示出
'''λ==

 参考资料 

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