潘勒韦分析

潘勒韦分析原是保罗·潘勒韦在1895年关于非线性常微分方程可积性的理论，后经数学家推广到分析非线性偏微分方程中，并发展出几种程序，常见的有Ablowitz-Ramani-Segur(ARS)程序、Weiss-Tabor-Carnevale(WTC)程序和Kruskal简化法等。潘勒韦分析的过程复杂，需借助Maple、Mathematica等计算机代数系统进行运算Inna Shingareva, Carlos Lizarrraga-Celyaya  Solving Nonlinear Partial Differential Equations with Maple and Mathematica, SpringerWienNewYork

Kruskal 简化法原理

对于给定的 偏微分方程



假设其解可展开为Laurent级数形式：

设定方程解的首项目可以表示为

≈

代人原式，平衡φ的幂次，得到一个含共振点的递推关系，如果对于任意的u(j)、φ，此递推关系是自相容的，则原来的方程是可积的。

实例
伯格斯方程的潘勒韦分析

作Laurent级数展开

其中 和  是非特征奇异点流型 和 u[0]≠0附近的解析函数。

设定方程解的首项可以表示为

≈

代人原式，得到

平衡最高阶微商与非线性项，得到：

ρ=1，u[0] = 2 b/a；

将
 代人偏微分方程，

φ的最低次项为

代入伯格斯方程，

因此 j=-1,2

取  再带入原方程得：

整理后，令其φ 的2次、1次，及常数项为零 得到一组多项式方程组：

伯格斯方程通过潘勒韦测试的条件是 在截短短展开式中，φ、u[2] 是任意函数。

经过一系列运算可知 u[2],φ为任意函数，伯格斯方程乃潘勒韦可积，其解有如下形式：

参考文献

Category:非线性偏微分方程