拉東測度

數學的測度論中，拉東（Radon）測度，是在豪斯多夫空間上的博雷爾測度，且具有局部有限及內部正則性質。

定義
設m是豪斯多夫空間X的博雷爾集的σ-代數上的測度。m稱為

內部正則，若對任何博雷爾集B，其測度m(B)等於B的所有緊緻子集K的測度m(K)的最小上界；
外部正則，若對任何博雷爾集B，其測度m(B)等於所有包含B的開集U的測度m(U)的最大下界；
局部有限，若X中任一點都有鄰域U，使得m(U)為有限。
拉東測度，若m是內部正則及局部有限。

例子
歐氏空間Rn上的勒貝格測度（限制到博雷爾集的σ-代數上）；
局部緊拓撲群上的哈爾測度；
任何波蘭空間的博雷爾集的σ-代數上的概率測度。這例子包括了很多在非局部緊空間上的測度，比如在區間[0,1]上的實值連續函數空間上的維納測度。
以下不是拉東測度：
歐氏空間上的計數測度，因為這測度不是局部有限。

性質
對偶性
在一個局部緊豪斯多夫空間上，拉東測度對應到在緊支集連續函數空間上的正線性泛函。這個性質是提出拉東測度的定義的主要原因。

度量空間結構

在上的所有（正）拉東測度組成的帶點錐 ，可以用下述度量使成為完備度量空間。定義兩個測度間的拉東距離為

其中最小上界是對所有連續函數f: X → [-1, 1]取的。

這個度量有一些限制。例如上的概率測度

關於拉東度量不是序列緊緻，即是概率測度序列未必有收斂子序列。這個性質在一些應用中會造成困難。另一方面，若是緊緻度量空間，那麼
Wasserstein度量使成為緊緻度量空間。

在拉東度量收斂意味著測度的弱收斂：

但反之則不必然。在拉東度量收斂有時稱為強收斂，以便和弱收斂對比。

其他
 约翰·拉东

外部連結

分類:測度論