康托尔函数

在数学中，以数学家格奥尔格·康托尔命名的康托尔函数，是一个一致连续，却不绝对连续的函数。

 定义 
康托尔函数 c : [0,1] → [0,1] ，对于x∈[0,1]，其函数值c(x)可由以下步骤得到：
 以三进制表示x。
 如果x中有数字1，就将第一个1之后的所有数字换成0。
 将所有数字2换成数字1。
 以二进制读取转换之后的数，这个数即为c(x)。
例如：
 1/4以三进制表示为0.020202...，其中并没有1，因此经过第二步仍然是0.020202...，第三步转换为0.010101...，将其视为二进制，则为1/3，因此c(1/4)=1/3。
 1/5以三进制表示为0.01210121...，第二步转换为0.01，由于其中没有2，因此经过第三步后仍是0.01，视为二进制则为1/4，因此c(1/5)=1/4。
 200/243以三进制表示为0.21102(即0.2110122222...)，第二步转换为0.21，第三步转换为0.11，视为二进制则为3/4，因此c(200/243)=3/4。

 其它定义 
 性质构造 
若在[0, 1]上定义的f(x)满足下列四个条件，则f(x)即为康托尔函数：





 迭代构造 
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下面构造一个函数序列{fn(x)}，这个序列将收敛于康托尔函数：
首先定义

接下来，对于每个正整数n，函数fn+1(x)都由函数fn(x)定义：

检查 fn(x)是否每个点都收敛于之前定义的康托尔函数，可以发现，

设f(x)是极限函数, 那么对于任意非负整数n都有，

另外可以注意到只要满足f0(0) = 0, f0(1) = 1 且f0  有界，起始函数f0(x)具体是什么函数并不重要。
參考資料

Category:分形
Category:测度论
Category:特殊函数