偽阿諾索夫映射

在數學的拓撲學中，偽阿諾索夫（）映射是曲面的一種同胚或微分同胚，是環面上的線性阿諾索夫微分同胚的推廣。偽阿諾索夫映射的定義用到威廉·瑟斯頓提出的測度葉狀結構概念。「偽阿諾索夫映射」這一名詞，也是他證明曲面的微分同胚分類時所創。

測度葉狀結構
一個閉曲面S上的測度葉狀結構，是S上的一個幾何結構，包含一個奇異葉狀結構和橫截方向的一個測度。在F的一個正則點的某個鄰域中，有一個「流盒」（flow box）φ: U → R2，將F的葉映射至R2的水平線。當兩個這樣的鄰域Ui, Uj相交，便有一個轉移函數φij在φj(Uj)上定義，有標準性質

這函數必有形式

其中c是某個常數。如此便保證了沿著一條簡單曲線，用各個局部圖卡測量的y座標的變差，是一個幾何量（即獨立於圖卡），因此能夠對S上的簡單閉曲線定義全變差。容許F有有限多個「p-叉鞍」（p-pronged saddle）類型的奇異點（p≥3）。於每個奇異點處，改變曲線的微分結構，令奇異點變為-{全角}-度πp的錐頂點（conical point）。相對這個變更了的微分結構，來重新定義S的微分同胚概念。這些定義作技術上的改變，就可以延伸到有邊界的曲面。

偽阿諾索夫映射的定義
閉曲面S的一個同胚

稱為偽阿諾索夫，若S上存在測度葉狀結構的一個橫截對Fs （穩定）及Fu （不穩定），及一個實數λ > 1，使得f保持這對葉狀結構不變，而葉狀結構的橫截測度分別乘上1/λ及λ。這數量λ稱為f的拉伸因子（stretch factor或dilatation）。

 重要性 
瑟斯頓構造了曲面S的泰希米勒空間T(S)的一個緊化，令S的任何微分同胚f誘導在T(S)上的作用，可以延伸成瑟斯頓緊化上的一個同胚。當f是偽阿諾索夫時，這個同胚的動態系統最為簡單：在這情況下，在瑟斯頓邊界有兩個固定點，一吸引一排斥，而同胚的行為類似龐加萊半平面的雙曲自同構。在虧格至少2的曲面上，一個「平常」的微分同胚是同痕於一個偽阿諾索夫微分同胚。

參考
A. Casson, S. Bleiler, "Automorphisms of Surfaces after Nielsen and Thurston", (London Mathematical Society Student Texts 9), (1988).
A. Fathi, F. Laudenbach, and V. Poénaru, "Travaux de Thurston sur les surfaces," Asterisque, Vols. 66 and 67 (1979).
R.C. Penner. "A construction of pseudo-Anosov homeomorphisms", Trans. Amer. Math. Soc., 310 (1988) No 1, 179–197

Category:动力系统
分類:幾何拓撲學
分類:同胚