集中趋势

在統計學中，集中趨勢（central tendency）或中央趨勢，在口語上也經常被稱為平均，表示一個機率分佈的中間值Weisberg， H. F. (1992) Central Tendency and Variability, Sage University Paper Series on Quantitative Applications in the Social Sciences, ISBN 0-8039-4007-6 p. 2.。最常見的幾種集中趨勢包括算數平均數、中位數及眾數。集中趨勢可以由有限的數組（如一群樣本）中或理論上的機率分配（如常態分佈）中求得。有些人使用集中趨勢（或集中性）這個詞以表示「數量化的資料之中央值的趨勢」Dodge, Y. (2003) The Oxford Dictionary of Statistical Terms, OUP for International Statistical Institute. ISBN 0-19-920613-9 (entry for "central tendency") Upton, G.; Cook, I. (2008) Oxford Dictionary of Statistics, OUP ISBN 978-0-19-954145-4 (entry for "central tendency") 。在這種意義下，我們可以利用資数据的離散程度（例如標準偏差或四分差等相似的統計量）判別其集中趨勢的程度。

集中趨勢（{{lang|en|central tendency}}）一詞於1920年代後期出現。

集中趨勢的統計量

一維資料的集中趨勢可能有以下數種統計方法。在某些情況下，經（）後的資料才採用以下的方法。

算术平均数  觀測值的總和除以觀測值的個數，即。常簡稱為平均數，也往往是背後機率分佈的期望值之不偏估計。
中位數  將所有觀測值按大小排序後在順序上居中的數值。
眾數 出現最多次的觀測值。
幾何平均數  觀測值的乘積之觀測值個數方根，即  
調和平均數  觀測值個數除以觀測值倒數的總和，即
加權平均數  考慮不同群資料貢獻程度不同時的算數平均數
截尾平均數（）  忽略特定比例或特定數值之外的極端值後所得的平均數。例如，（）正是忽略25%前及75%後的資料後所得的算數平均數。
（）又稱全距中值  最大值與最小值的算數平均數，即。
（）  第一四分位數與第三四分位數的算數平均數，即。
三均值（）  考慮三個四分位數的加權平均數，即。
（）  以最接近的觀測值取代特定比例的極端值後取得的算數平均數。舉例來說，考慮10個觀測值（由小到大排列為至）的情況下，10%的極端值調整平均數為
 ，
 其中分別以和取代了和。

以上的統計量在多維變數中仍可單獨地被套用在各個維度上進行，但並不能保證在轉軸後仍維持一致的結果。

平均數、中位數與眾數的關係

缩略图|右|在指數分配exp(λ)中，期望值為1/λ而中位數為(ln 2)/λ，二者並不一致。

在左右對稱的機率分佈中，不同的集中趨勢統計量有相同結果，但在偏度遠離0時則可能不一致。在單峰型的機率分佈（）中，平均數（μ）、中位數（ν）與眾數（θ）的關係如下：Johnson NL, Rogers CA (1951) "The moment problem for unimodal distributions". Annals of Mathematical Statistics, 22 (3) 433–439

 ，

 ，

 ，

其中σ為標準偏差。至於任一機率分佈，Hotelling H, Solomons LM (1932) The limits of a measure of skewness. Annals Math Stat 3, 141–114Garver (1932) Concerning the limits of a mesuare of skewness. Ann Math Stats 3(4) 141–142 

 。

 參考文獻 

Category:统计学
Category:多變量統計