波利亞計數定理

波利亚计数定理（，简称PET）用来研究不同着色方案的计数问题，它是组合数学中的一个重要的计数公式，是伯恩赛德引理的一般化，由波利亞·哲爾吉在1937年的论文G. Pólya. Kombinatorische Anzahlbestimmungen für Gruppen, Graphen und chemische Verbindungen. Acta Mathematica. 1937, 68 (1): 145–254. doi:10.1007/BF02546665中提出并被广泛应用，该结果首先由John Howard Redfield在1927年发表，但当时很少有人能理解，十年后由波利亚独立重新发现。对于含n个对象的置换群G，用t种颜色着色的不同方案数为：

其中  为置换的循环指标（Cycle index）数目。

波利亚计数定理的母函数形式

设对个对象用种颜色：着色。设

，其中表示置换群中第个置换循环长度为的个数。

设，则波利亚计数定理的母函数形式为：

波利亚计数定理只是给出计数，但没有给出相应的方案，而母函数形式的波利亚计数定理可以给出相应的方案。

示例

 示例1 
使用两种颜色对正方体的六个面的面染色，不同的染色方案数有：



 示例2 

 问题描述： 
甲烷CH4的4个键任意用H(氢),Cl(氯),CH3(甲基), C2H5(乙基) 连接，有多少种方案？

 问题解答： 
甲烷的结构为正四面体，设四面体的四个顶点分别为A、B、C、D，将正四面体的转动群按转动轴分类情况如下：
 不动旋转：A、B、C、D共有一个(1)4循环；
 以顶点与对对面的中心连线为轴，逆时针旋转±120。存在如下置换所对应的旋转：置换(BCD)与置换(BDC)、置换(ACD)与置换(ADC)、置换(ABD)与置换(ADB)，(ABC)及(ACB)，共计8个(1)1(3)1循环。
 以正四面体的3对对边之中点联线为旋转轴旋转180度，(AB)(CD)，(AC)(BD)，(AD)(BC),共有3个(2)2循环
根据波利亚计数定理可得:

 波利亚计数定理与伯恩赛德引理的比较 
 波利亚计数定理中的群G是作用在n个对象上的置换群。
 伯恩赛德引理中的群G是对这n个对象染色后的方案集合上的置换群。
 两个群之间存在一定的联系，群G的元素，相应的在染色方案上也诱导出一个属于G的置换。

参考文献

 延伸閱讀 

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