函數極限

10.841471...0.10.998334...0.010.999983...
儘管函數的定義域中不包括“0”，但當無限接近於零時，就無限接近於 1，換句話說，接近於零時，的極限是 1。
在數學中，函數極限（）是微積分的一個基本概念。它描述函數在接近某一給定自變量時的特徵。函數  於  的極限為  ，直觀上意為當  無限接近  時， 便無限接近  。

正式定义

 动机 
如果取  為＂  與  差距的上限＂；類似地，取  為＂  與   差距的上限＂，那根據直觀，可以將函數極限定義為：

 若對所有的  ，存在 ，使得對所有的  ，只要  就有 

其中  是要確保  越來越小時，  也會越來越小；  是為了凸顯  是逼近而非等於  ，但對應的  是可以等於  的。

但對於实函数  逼近  時，考慮到  的部分；在  下是沒有這樣的  使得  且  的，但數值上  的確在  時很靠近  ，也就是  的部分侷限了定義能覆蓋的範圍。

上面的例子表明以  的變化去限制  的變化通常是很困難的，但如果反過來從  出發，去找怎樣的  會讓  與   的差距小於  ，也就是從＂若對所有的  存在  ＂出發的話，顯然上面 的例子只要取   即可；而且在這個定義被滿足的情況下，若進一步取  和  的最小值為  與  差距的上限，還是會有  ，這樣就可以用  控制  的變化，而滿足＂  趨近於  時  趨近於   ＂的直觀想法。

但實際上無法確保對所有 ，都有  使得  ，所以定義函數極限之前必須要求  為  的极限点。但大部分的情況會退而求其次的假設存在  使得   在  都有定義，也就是存在  的去心鄰域使  都有定義，這樣的話  會自動成為  的極限點。

自變量趨於有限值時函數的極限
 為实函数，  為  的極限點且  ，若＂對所有的，存在，使得對所有的  只要  就有  ＂，或以正式的邏輯符號表述為則以  表示，稱  為實函數   於  的極限。

自變量趨於無窮大時函數的極限
由於＂無窮大＂不能直接定義成定義域  的極限點，可以退而求其次假設＂對所有的  存在  使得   ＂。也就是直觀上可以用定義域  裡的點去逼近＂無窮大＂。那在這種條件下，，且若＂對所有 ，存在 ，使得對所有的  只要  時，有 ＂，或以正式的邏輯符號表述為則稱  為實函數  於正無窮大（  ）的極限，記作 

類似的，若假設＂對所有的  存在  使得  ＂，那在這種條件下，，且若＂對所有 ，存在 ，使得對所有的  只要  時，有 ＂，或以正式的邏輯符號表述為則稱  為實函數  於負無窮大（  ）的極限，記作

 制限極限 
直觀上來講，從數線左邊逼近或右邊逼近應該會得到一樣的極限，為了把這個概念推廣，需要函數限制的極限（也就是縮小定義域後的極限）：定理

若  且  同時為  和  的极限点，則



等價於

  且 上述定理的證明只須注意到  也必為  的極限點，然後把函數極限的定義展開，考慮到  ，還有對  取  的和  取的  ，那只要取  為  和  的最小值，對所有  就有  ；反過來由原函數  推出  和  的狀況是非常顯然的。

 左右極限 
若取




如果假設  同時為  和  的极限点，那  和  顯然符合上面定理的要求的，而這時



這個表達式會被別稱為＂  是實函數  於  的右極限＂，也可以用  表示。

類似的



這個表達式會被別稱為＂  是實函數  於  的左極限＂，也可以用  表示。

常用公式

有理函數

以下公式中，。

無理函數

三角函數

指數函數

對數函數

 參考 

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