Q-模拟

在数学里，尤其是组合数学和特殊函数领域，一个定理、等式或者表达式的q-模拟是指在引入一个新的参数q后当q→1时原定理、等式或表达式的极限。最早地研究得较为深入的q-模拟是 19世纪Exton, H. (1983), q-Hypergeometric Functions and Applications, New York:  Halstead Press, Chichester: Ellis Horwood, 1983, ISBN 0853124914 ,  ISBN 0470274530 , ISBN 978-0470274538被引入的基本超几何级数。

q-模拟在包括分形、多重分形, 混沌动力系统的熵表达在内的多个研究领域都有应用。另外，在量子群 和 q-变形 代数的研究中也有应用。

"经典" q-模拟开始于莱昂哈德·欧拉的研究工作，后来由F. H. JacksonF. H. Jackson (1908), "On q-functions and a certain difference operator",  Trans. Roy. Soc. Edin.,  46 253-281. 以及其他人所扩展。

"经典" q-理论
经典 q-理论开始于非负整数的q-模拟。  等式

表示定义n的q-模拟为

阶乘的q-模拟，称作q-阶乘，被定义为

[n]q! 表示逆序对的数目。如果 inv(w)表示全排列w 的逆序对，Sn表示n全排列的集合, 则有

特别地, 当取极限时就得到一般的阶乘公式。  

根据q-阶乘, 可以定义 q-二项式系数, 也被称作高斯系数, 高斯多项式, 或高斯二项式系数:

q-指数定义为:

组合q-模拟
高斯二项式系数计算一个有限维向量空间的子空间数。令q表示一个有限域里的元素数目，则在q元有限域上n维向量空间的k维子空间数等于

当q等于1时, 得到二项式系数

参考文献

 q-analog from MathWorld
 q-bracket from MathWorld
 q-factorial from MathWorld
 q-binomial coefficient from MathWorld

外部链接

Category:组合数学