循環連分數

循環連分數是一種可表示為以下形式的連分數：

前k+1個部分分母不算，後面的部分分母[ak+1, ak+2,…ak+m]會一直重覆出現。例如即可表示為循環連分數[1,2,2,2,...]。

循環連分數的部份分母{ai}可以是任何實數或虛數。

1770年，拉格朗日證明一個數字能表示成循環連分數，若且唯若此數為二次無理數Kenneth H. Rosen. Elementary Number Theory and Its Applications.。例如。

在此條目以下的內容會限制在部份分母為正整數的循環連分數。
純循環連分數以及循環連分數

因為循環連分數的分子都是1，因此可以用以下簡化的方式記錄循環連分數：

第二行的括線表示循環的部份。有些教材書會用以下的寫法

循環部份的第一個數字和最後一個數字上方加上點識別。

若循環連分數中都是循環部份，沒有不循環的第一部份，也就是k = -1, a0 = am，則

這樣的循環連分數稱為純循環連分數（purely periodic）。例如黃金比例φ的循環連分數是，就是純循環連分數，而的循環連分數是，是循環連分數，不是純循環連分數。
和單位模矩陣之間的關係
循環連分數可以和實數的二次無理數一一對應。其對應關係在有提到。先考慮以下的純循環連分數

此純循環連分數可以寫成

其中是整數，滿足。其確切值可以用以下方式求得 

表示移位，因此 

以下這個類似反射

而。這些矩陣都是，其乘積仍是單位模矩陣。針對上述的，對應的矩陣如下

而

是其顯式式。因為所有的矩陣元素都是整數，矩陣也屬於 。
 文內注釋 

參考資料

 (This is now available as a reprint from Dover Publications.)

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