测度收敛

测度收敛是测度论中的一个基本概念，在概率论、泛函分析及数理统计等领域中具有重要应用。设在某一可测空间上给定一个测度 ，并考虑一列定义在同一空间上的测度   。随着  的增大，  的性质与  越来越相似。 “越来越相似”和一般的序列的极限的想法一致：对于任何可接受的误差  ，只要  充分大， 对于任何  ，   和  之间的“差别”小于  。 收敛的定义也就取决于'差别'的定义。 这些收敛方式之间一般并不等价，其强弱关系也各不相同。

测度的总变差收敛

测度的强收敛

 测度的弱收敛 
在数学和统计学中, 弱收敛 (即为泛函分析中的 弱*收敛)是 测度论中广泛应用的一种收敛。 
下面是几种测度弱收敛的等价定义。 这些等价定义被称为 portmanteau定理.Achim Klenke, Probability theory (2006) Springer-Verlag, ISBN 978-1-848000-047-6 doi:10.1007/978-1-848000-048-3

定义   为拥有 Borel σ-代数 的 度量空间 。我们称一列(S, Σ)上的 概率测度   ,  弱收敛于概率测度  ,（记为
）
如果下面任何一条条件得到满足 (  为关于概率  的数学期望， 为关于概率  的数学期望):
  对于任何有界连续的函数 ,
  对于任何有界且满足 Lipschitz条件的函数  ,
  对于任何有上界的 上半连续 的函数  ,
  对于任何有下界的 下半连续 的函数  ,
  对于任何空间S中的闭集  ;
  对于任何空间S中的开集  ;
  对于任何关于概率P连续的集合 .

參考來源

参考文献




Category:测度论
Measure, Convergence of