布朗桥

标准布朗桥（英語：Brownian bridge）是概率论中常见的一个研究对象。 它是一种连续时间上的随机过程， 在0和1处取值为0.

注意不要和布朗运动混淆。

布朗桥有时又被称为绑在0和1处的布朗运动（此处仅为意译）。

非标准的 布朗桥 只是在条件 下一般化的布朗桥。

定义
 标准的布朗桥 为一个连续时间上的 随机过程 ，它的分布为在条件下的维纳过程 （Wiener Process）。

它首先是一个高斯过程, 也就是说随机向量 在条件 下服从高斯分布。所以它可以由期望和协方差来刻画：



定义的备注

事件 的概率为0。 考虑满足

的事件 ，
我们可以考察条件分布 。 由依分布收敛 可得：

这给出了布朗桥的一个严格定义。

 和其他随机过程的关系  
 和布朗运动的关系

性质1

设 为一个 维纳过程 (或者 布朗运动), 那么过程  :

为一个标准的布朗桥。

相互定义

设  为一个标准的布朗桥，  Z 是一个正态随机变量，则过程  et  :
     et    
为  和  上的维纳过程。

性质 2

设  为一个 维纳过程, 则过程  ：

为一个标准布朗桥。

相互定义

设  为一个标准的布朗桥, 那么过程 ：

为一个维纳过程。

 扩散形式下的表达 

也可以认为布朗桥是一种扩散过程。 事实上， 如果  是一种标准的布朗桥，随机方程

初始条件的解和布朗桥同分布。

事实上,  是一个 马氏过程，这个从布朗桥的定义中不容易看出。

 性质

设 为标准的布朗桥。

性质3

设 b 为一个实数，


性质4

设 b 为一个正实数


性质 5

设a et b 为2个正实数.


性质6

设 x 为一个正实数


相关條目
 布朗运动
 维纳过程

 参考文献 



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