正轴形

在几何学中，正轴形，或称交叉形 第IV章，五维半正多胞形  、正交形Conway把它叫做n-orthoplex寓意正交的复杂图形。、超正八面体、-{zh-hans:余; zh-hant:餘;}-方形，是一个正的、凸的、存在于任意维度的多胞形。正轴形的顶点坐标都是(±1, 0, 0, …, 0)的全排列，正轴形是这些顶点的凸包。它的(n-1)维表面是(n-1)维的正单纯形，而正轴形的顶点图是前一维的另一正轴形。

n维正轴形也可以用在Rn中ℓ1-赋范下的单位球（或者，对于某些学者，单位球面）来定义；

在一维，正轴形就是线段 [−1, +1]，在二维它是正方形（或叫做正菱形），有顶点{(±1, 0), (0, ±1)。在三维它是正八面体—五个正多面体，即柏拉图立体之一。更高维的正轴形总结如下：
120px|A 2-dimensional cross-polytope120px|A 3-dimensional cross-polytope120px|A 4-dimensional cross-polytope二维正方形三维正八面体四维正十六胞体

正轴形是超方形的对偶多胞形。n维正轴形的是T(2n,n)。

 四维 
四维正轴形也被叫做正十六胞体。它是6个四维凸正多胞体之一。这些多胞体最先被瑞士数学家路德维希·施莱夫利在19世纪中期描述过。

 更高维 

正轴形家族是三个延伸至正无穷维的正多胞形家族之一，考克斯特将其标记为βn，另外两个是超方形家族，记为γn，以及单纯形家族，记为αn第四个非凸多胞形的家族，超方形密铺家族，他将其标记为δn。

n维正轴形有2n个顶点，及2n个全都是(n−1)-单纯体的维面（n−1 维组成元素）。它的顶点图 都是n − 1维的正轴形。正轴形的施莱夫利符号是{3,3,…,3,4}。n-维正轴形的二面角是
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n-维正轴形的k-维组成元素（顶点、棱、面、…、维面）的个数由以下公式给出（见二项式系数）：

n-维正轴形的超体积为：

这里有许多能够以二维图像展示正轴形的正交投影，皮特里多边形投影是常用的一种投影，将其顶点，投影到一个2n边形或更低阶的正多边形上。第二次的投影再投影于更低维中的2(n-1)边皮特里多边形，例如双角锥，我们可将其沿主轴投影，两个顶点被投影到了投影的中心。

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正轴形元素 nβnk11 名称图像图像2n边形图像2(n-1)边形施莱夫利符号 顶点 棱 面 胞 4-表面 5-表面 6-表面 7-表面 8-表面 9-表面 1β1线段1-正轴体50px{} 2                   2β2 −111正方形2-正轴体二维正轴体50px50px{4}{}+{} 4 4                 3β3011 正八面体3-正轴体三维正轴体50px50px{3,4}{30,1,1}{}+{}+{} 6 12 8               4β4111正十六胞体4-正轴体四维正轴体50px50px{3,3,4}{31,1,1}4{} 8 24 32 16             5β52115-正轴体五维正轴体50px50px{33,4}{32,1,1}5{} 10 40 80 80 32           6β6311 6-正轴体六维正轴体50px50px{34,4}{33,1,1}6{} 12 60 160 240 192 64         7β74117-正轴体七维正轴体50px50px{35,4}{34,1,1}7{} 14 84 280 560 672 448 128       8β85118-正轴体八维正轴体50px50px{36,4}{35,1,1}8{} 16 112 448 1120 1792 1792 1024 256     9β96119-正轴体九维正轴体50px50px{37,4}{36,1,1}9{} 18 144 672 2016 4032 5376 4608 2304 512   10 β1071110-正轴体十维正轴体50px50px{38,4}{37,1,1}10{}201809603360806413440153601152051201024... n βnk11n-正轴体n维正轴体{3n − 2,4}{3n − 3,1,1}n{}......... 2n 0-表面, ...  k-表面 ..., 2n (n-1)-表面

等轴正轴形的顶点在曼哈顿距离下，任意两点之间的距离都是相等的（L1赋规）。即是说这个由2d 个点组成的集合是在这距离下最大的等距集。.

 另见 

 正图形
 ，正轴形的对称群。

注释

参考
 p. 296, 表 I (iii): Regular polytopes, three regular polytopes in n-dimensions (n>=5)

 外部链接 


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