有界輸入有界輸出穩定性

在信號處理及控制理論中，有界輸入有界輸出穩定性簡稱BIBO穩定性，是一種針對有輸入信號線性系統的穩定性。BIBO是「有界輸入有界輸出」（Bounded-Input Bounded-Output）的簡稱，若系統有BIBO穩定性，則針對每一個有界的輸入，系統的輸出也都會有界，不會發散到無限大。

對於信號若存在有限的定值使得信號的振幅不會超過，則此信號為有界的，也就是說
 針對離散訊號，或
 針對連續訊號

 線性非時變系統時域分析下的條件
連續系統的充份及必要條件
針對連續時間的線性非時變（LTI）系統，BIBO穩定性的條件是脈衝響應需為絕對可積分，也就是存在L1範數

離散系統的充份條件
針對離散時間的線性非時變系統，BIBO穩定性的條件是脈衝響應需為絕對可積分，也就是存在L1範數

充份條件的證明
假設離散時間的線性非時變系統，其脈衝響應和輸入和輸出之間會有以下的關係：

其中為卷積
則依卷積的定義：

令為的最大值

（根據三角不等式）

若是絕對可求和，則且

因此若是絕對可求和，且有界，則因為，也會有界。

連續時間的情形也可以依類似的方式證明。

 線性非時變系統頻域分析下的條件
 連續時間訊號 

對於一個有理的連續時間系統，穩定性的條件是拉普拉斯轉換的收斂區域包括複數平面的虛軸。若系統為因果系統，其收斂區域為「最大極點」（實部為最大值的極點）實部垂直線往右的開集，定義收斂區域的極點實部稱為。因此，若要有BIBO穩定性，系統的所有極點都需在S平面的嚴格左半平面（不能在虛軸上）。

可以將時域分析下的穩定性條件擴展到頻域下：

其中，且.

因此收斂區域必須包括虛軸。

 離散時間訊號 

對於一個有理的離散時間系統，穩定性的條件是Z轉換的收斂區域包括單位圓。若系統為因果系統，其收斂區域為極點絕對值中最大值為半徑的圓周以外的開集，因此，若要有BIBO穩定性，系統的所有極點都需在Z平面的單位圓內（不能在單位圓上）。

可以用類似的方式推導穩定性準則：

其中，且

因此收斂區域必須包括單位圓。

 相關條目 
 线性时不变系统理论
 有限脉冲响应（FIR）濾波器
 無限脈衝響應（IIR）濾波器
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 羅斯-霍維茨穩定性準則
 波德圖
 相位裕度
 根軌跡法
 超穩定性

延伸閱讀

Gordon E. Carlson Signal and Linear Systems Analysis with Matlab second edition, Wiley, 1998, ISBN 0-471-12465-6
John G. Proakis and Dimitris G. Manolakis Digital Signal Processing Principals, Algorithms and Applications third edition, Prentice Hall, 1996, ISBN 0-13-373762-4
D. Ronald Fannin, William H. Tranter, and Rodger E. Ziemer Signals & Systems Continuous and Discrete fourth edition, Prentice Hall, 1998, ISBN 0-13-496456-X
Proof of the necessary conditions for BIBO stability. 
Christophe Basso Designing Control Loops for Linear and Switching Power Supplies: A Tutorial Guide first edition, Artech House, 2012, 978-1608075577

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