乒乓引理

群論中，乒乓引理（ping-pong lemma）給出了一個充分條件，保證一個群中數個子群所生成的群是這些子群的自由積。

歷史
使用乒乓引理的論證法可以追溯至19世紀後期，通常認為是菲利克斯·克萊因最先使用，他研究克萊因群的子群常常用到。雅克·蒂茨在他一篇1972年的文章中J. Tits. Free subgroups in linear groups. Journal of Algebra, vol. 20 (1972), pp. 250–270，證明著名的蒂茨兩擇性（Tits alternative）結果，一個主要工具就是乒乓引理。這結果指出任何有限生成的線性群，或是一個逼肖可解群（virtually solvable group），或是包含一個秩2的自由子群。乒乓引理及其引申結果廣泛應用於幾何拓撲學及幾何群論。

定理敍述
設G為群，作用在集合X上，H1和H2是G的非平凡子群，H是H1和H2生成的群。若X有兩個不交非空子集X1和X2，使得
對所有，都有
對所有，都有
則H是H1和H2的自由積，即，或者，而H是二面體群。
證明
設w是用H1和H2的元素寫出的非空簡約字。若，其中，，則

故。同上得。

若H1和H2的階不都等於2，不失一般性，假設。若，取，則，故由上可知
，
得。若，取，則，同上可得，故。因此得出。

若，令，。從上可知若有以a, b寫出的非空簡約字w等於1，則w只可能是或，故對某些數n > 0有。取其最小者的值為n，則H為二面體群。若無如此簡約字w，則。

推廣
乒乓引理可以推廣至數個子群的情形：

設G為群，作用在集合X上。又設H1, H2, ... , Hk是G的非平凡子群，且當中至少一個的階不小於3。若X有兩兩不交的非空子集X1, X2, ... , Xk，使得當時，對所有，都有。則H1, H2, ... , Hk所生成的群是其自由積，即
。

這條定理的證明與兩個子群時的證明類似。

應用例子
特殊線性群
矩陣和在特殊線性群中生成的子群是秩2的自由群。

證明
群以線性變換作用在平面上。
設這兩個矩陣各自生成子群

又設平面的兩個不交子集為

H1, H2都同構於無限循環群。因為H1, H2, X1, X2適合乒乓引理的條件，由乒乓引理得出H1, H2生成的群為其自由積，而兩個無限循環群的自由積為秩2的自由群。

參考

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