證明黎曼ζ函數的歐拉乘積公式

歐拉在他的論文《無窮級數的一些檢視》（Various Observations about Infinite Series）中證明黎曼ζ函數的歐拉乘積公式，並於1737年由當時的科學院出版。John Derbyshire (2003), chapter 7, "The Golden Key, and an Improved Prime Number Theorem"

 公式 

黎曼ζ函數以歐拉乘積的方式可寫成



而左方等於黎曼ζ函數：

右方的乘積則擴展至所有質數p：

 證明 
證明過程只需用到簡單的代數概念，這亦是歐拉當初使用的證明方法。

（1）

（2）

從（1）式減去（2）式：

（3）

重複上面步驟：

（4）

從（3）式減去（4）式，可得：

這次2和3的所有倍數項都被減去。可見右方的的倍數項可被篩去，不斷重複以上步驟可得：

左右兩方除以所有括號項，我們得到：

最後，公式可寫成質數的無窮乘積：

證畢。

為了使證明更嚴密，我們只需注意到當，已篩的右方項趨向1，並遵從狄利克雷級數的收歛性。

 调和级数 
從以上公式可推導出 ζ(1) 的有趣結果。

可以寫成，

又知：

所以

我們得知左式是調和級數，並發散至無窮大，故此右式的分子（質數階乘）必定同樣發散至無窮大。由此可以證明質數有無限多個。

 參見 
 黎曼ζ函數
 歐拉乘積
 狄利克雷級數
 埃拉托斯特尼篩法
 質數

 參考資料 

 John Derbyshire, Prime Obsession: Bernhard Riemann and The Greatest Unsolved Problem in Mathematics, Joseph Henry Press, 2003, ISBN 978-0-309-08549-6

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