布里渊函数和郎之万函数

布里渊函数和郎之万函数（Brillouin and Langevin functions）是理想顺磁性材料研究中的一对特殊函数。

布里渊函数

布里渊函数C. Kittel, Introduction to Solid State Physics (8th ed.), pages 303-4 ISBN 978-0-471-41526-8形式为：

其中， 为实数， 为正整数或半整数，函数的值域为从-1（）到1（）。

布里渊函数是计算理想顺磁体的磁化强度时引入的。它描述了磁化强度 与外加 磁场  、材料微观磁矩的 总角动量量子数 J之间的关系。磁化强度由下式给出：

其中， 单位体积内原子的数目， 为，为玻尔磁子， 为外场中磁矩的与无规热能 之比：

其中， 为 波尔兹曼常数，  为绝对温度。

郎之万函数

300px|thumb|right|郎之万函数 (红线) 与
 (蓝线)。

在经典极限，磁矩可以连续地沿外场取向，，布里渊函数可以化简为郎之万函数，形式为：

在高分子物理学中，受外力拉伸的理想高分子链的平均末端距也用郎之万方程描述： 

其中，为 库恩长度，为高分子链长，为施加在链末端的外力。

当为小量时，郎之万函数可由其截断的泰勒级数近似：

郎之万函数还可以由以下连分式近似：

郎之万函数的逆函数可由下式近似：

其中，x的取值范围为(-1, 1)。

当x比较小时，一个更好的近似为：

郎之万逆函数的泰勒级数为：

高温极限
当  时，即 很小，磁矩可以由居里定律近似： 

其中  为常数，  为有效波尔磁子数目。

强场极限
当 ，布里渊函数的值趋于 1，材料的磁化强度饱和，磁矩的取向完全沿外场方向，于是有

参考文献

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