外自同構群

抽象代數的群論中，群G的外自同構群Out(G)是自同構群Aut(G)對內自同構群Inn(G)的商群Aut(G)/Inn(G)。

G的一個自同構如不是內自同構，便稱為外自同構。外自同構群Out(G)的元素是G的內自同構子群Inn(G)在自同構群Aut(G)中的陪集，故其元素不是外自同構，同一元素可對應到某個外自同構和任何內自同構的複合，因此不能定義G的外自同構群於G上的作用。不過因為內自同構都將群G的元素映射到同共軛類的元素，所以可定義出外自同構群在G的共軛類上的作用。

然而，若G為阿貝爾群，則G的內自同構群是平凡群，於是Out(G)可以自然地等同於Aut(G)，即是Out(G)的每個元素都對應唯一的自同構，因此Out(G)可以作用於G上。（而這時G的共軛類也各僅有一個元素。）

一些有限群的外自同構群
 G Out(G)    2 （n > 2）  （是歐拉函數） （p為素數，n > 1）   對稱群（n ≠ 6） 平凡群 1   2 交錯群（n ≠ 6）  2   4

與中心對偶
群G的外自同構群，在下述意義下可以視為對偶於G的中心Z(G)：G的元素g所對應的共軛作用是自同構，由此得映射。這映射是群同態，核是G的中心，而餘核是G的外自同構群（因這映射的像是G的內自同構群）。這關係可用正合列表示：

如果一個群只有平凡外自構群和平凡中心，即為群同構時，稱之為完備群。

有限單群的外自同構群
施賴埃爾猜想指任何有限單群的外自同構群，都是可解的。按照有限單群分類去逐一檢驗，這項猜想已得證，但至今未有直接證明。

參考
  (chapter 7).

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