內自同構

在抽象代數的群論中，內自同構（）是群的一種自同構。群內部的元素的共軛作用可以定義一個自同構，因而得名「內」自同構。

 定義 

設  為群  的一個元素，則  對應的內自同構可以由如下的方程給出




該方程是  的一個自同態，因為對任意  ，有



所有由  的元素的共軛作用給出的自同構稱為內自同構。

性質
若g在G的中心Z(G)內，則是平凡的。因此阿貝爾群的內自同構都是平凡的。一般而言，的不動點集，正是g的中心化子CG(g)。

內自同構的逆元是。兩個內自同構的複合是

由群的中心的基本性質可知，若Inn(G)是循環群，則Inn(G)是平凡群。

若Inn(G)=Aut(G)且G無中心，則G稱為完備群。

若G是完滿群且Inn(G)是單群，則G稱為擬單群。

內自同構群
群  的內自同構組成內自同構群  。內自同構群  與群  對其中心  的商群  同構。

內自同構群  是  的自同構群  中的正規子群，其對應商群記為  ，稱為外自同構群。

上述關係可以用以下兩個短正合列表示：

正規子群
群  的子群  是  的正規子群若  在  的任一內自同構的作用下不變。這時  的內自同構限制到  上時是  的一個自同構（未必是  的內自同構），因而有群同態。這個群同態的核是  在  中的中心化子  。

對一般的子群H，可取其在G中的正規化子NG(H)，則H是NG(H)的正規子群，故有群同態，其核是CG(H)。因此NG(H)/CG(H)可以嵌入到Aut(H)內，即

是單射。

參考
  (chapter 7).

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