K-L变换

K-L轉換（）是建立在統計特性基礎上的一種轉換，它是均方差（MSE, Mean Square Error）意義下的最佳轉換，因此在資料壓縮技術中佔有重要的地位。

K-L轉換名称来自Kari Karhunen和Michel Loève。

K-L轉換是對輸入的向量x，做一個正交變換，使得輸出的向量得以去除數據的相關性。

然而，K-L轉換雖然具有均方差(MSE)意義下的最佳轉換，但必須事先知道輸入的訊號，並且需經過一些繁雜的數學運算，例如协方差(covariance)以及特徵向量(eigenvector)的計算。因此在工程實踐上K-L轉換並沒有被廣泛的應用，不過K-L轉換是理論上最佳的方法，所以在尋找一些不是最佳、但比較好實現的一些轉換方法時，K-L轉換能夠提供這些轉換性能的評價標準。

以處理圖片為範例，在K-L轉換途中，圖片的能量會變得集中，有助於壓縮圖片，但是實際上，KL轉算為input-dependent，即需要對每張輸入圖片存下一個轉換機制，每張圖都不一樣，這在實務應用上是不實際的。

 原理 
KL轉換屬於正交轉換，其處輸入訊號的原理如下：

對輸入向量做KL傳換後，輸出向量之元素間(, 和為之元素的index)的相關性為零，即：

展開上式並做消去：

如果，因為KL轉換式線性轉換的關係，，則可以達成以下式，所以這裡得輸入向量之平均值需為，所以KLT是專門用於隨機程序的分析：

其中，即輸出向量不同元素相關性為。

回到矩陣表示形式，令為KL轉換矩陣，使：

以和表示之covariance矩陣：

因為，直接等於covariance矩陣：

其中為之covariance矩陣。

如果要使，則必須為對角線矩陣，即對角線上之值皆為，所以必須將傳換成對角線矩陣，即的每一行皆為之特徵向量。

K-L轉換的目的是將原始數據做轉換，使得轉換後資料的相關性最小。若輸入數據為一維：

其中en為輸入訊號x共變異數矩陣(covariance matrix)Cx的特徵向量(eigenvector)

若輸入訊號x為二維：

 與離散餘弦轉換的關係 酒井善則，吉田俊之原著，原島博監修，白執善編譯，「影像壓縮術＂，全華印行, 2004.
二維之K-L轉換推導係自原先輸入信號之自協方矩陣

亦即

而得，此處假設輸入信號x已經先減去平均值。

而當輸入彼此具高度相關性，如影像等，則可假設其在水平與垂直方向上得以被分離，並以水平與垂直之相關係數加以表示

假設 與  之水平和垂直距離分別為

則 

以一3x2之輸入  為例

此時 

而對於任意尺寸的水平或垂直方向之協方差矩陣可以表示成

可發現其值僅與  有關，取其閉合形式，其基底元素 為

此處  為  之特徵值

其中 

對於不同的輸入影像，其會有所不同，而若是令 ，則此轉換不必與輸入相關，同時繼承了K-L轉換去除相關性的優異性質。

此時 

代入上式，得 KLT| ，

離散餘弦轉換較K-L轉換在實務上較為有利，因其毋須紀錄會隨輸入而改變的轉換矩陣。

 KLT與PCA的區別 
KLT和主成分分析(PCA, Principle component analysis) 有相似的特性，二者之間有很細微的差異，其中KLT專門處理隨機性的訊號，但PCA則沒有這個限制。對PCA而言，這裡假設輸入訊號為ㄧ向量，輸入向量在乘上轉換矩陣之前，會先將輸入向量扣去平均值，即:

PCA會根據之covariance矩陣來選擇特徵向量做為轉換矩陣之內容：

其中為對角線矩陣且對角線值為特徵值。

由上述可見PCA和KLT之差異在於有沒有減去平均值，這是由於輸入資料分布的限制造成的，當輸入向量支平均值為零時，二這者沒有差異。

 應用 
在影像的壓縮上，目的是要將原始的影像檔用較少的資料量來表示，由於大部分的影像並不是隨機的分布，相鄰的像素(Pixal)間存在一些相關性，如果我們能找到一種可逆轉換(reversible transformation)，它可以去除數據的相關性，如此一來就能更有效地儲存資料，由於K-L轉換是一種線性轉換，並有去除資料相關性的特性，便可以將它應用在影像的壓縮上。此外，由於K-L轉換具有將訊號轉到特徵空間(eigenspace)的特性，因此也可以應用在人臉辨識上。

 参考文献 
1.  Ding, J. J. (2017). Advanced Digital Signal Processing [Powerpoint slides] http://djj.ee.ntu.edu.tw/ADSP8.pdf 

2.  Gerbrands,  J.J., On the relationships between SVD, KLT, and PCA, Pattern Recogn., 14 (1981), pp. 375–381

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