皮爾森卡方檢定

皮爾森卡方檢定（）是最有名卡方檢定之一（其他常用的卡方檢定還有、、等等－－它們的統計值之機率分配都近似於卡方分配，故稱卡方檢定）。「皮爾森卡方檢定」最早由卡爾·皮爾森在1900年發表，用於類別變數的檢定。科學文獻中，當提及卡方檢定而沒有特別指明類型時，通常即指皮爾森卡方檢定。

原假設
「皮爾森卡方檢定」的虛無假設（H0）是：一個樣本中已發生事件的次數分配會遵守某個特定的理論分配。

在虛無假設的句子中，「事件」必須互斥，並且所有事件總機率等於1。或者說，每個事件是類別變數（）的一種類別或級別（）。

簡單的例子：常見的六面骰子，事件＝丟骰子的結果（可能是1~6任一個）屬於類別變數，每一面都是此變數的一種（一個級別）結果，每種結果互斥（1不是2, 3, 4, 5, 6; 2不是1, 3, 4 ...），六面的機率總和等於1。

用途和步驟
「皮爾森卡方檢定」可用於三種情境的變項比較：、和獨立性檢定。

 「適配度檢定」驗證一組觀察值的次數分配是否異於理論上的分配。
 「同质性检验」可以比较在使用相同的分类变量时，两组或两组以上群体的计数分布。
 「獨立性檢定」驗證從兩個變數抽出的配對觀察值組是否互相獨立（例如：每次都從A國和B國各抽一個人，看他們的反應是否與國籍無關）。

不管哪個檢定都包含三個步驟：
 計算卡方檢定的統計值「  」：把每一個觀察值和理論值的差做平方後、除以理論值、再加總。
 計算  統計值的自由度「」。
 依據研究者設定的置信水平（顯著性水平、P值或對應Alpha值），查出自由度為  的卡方分配臨界值，比較它與第1步驟得出的  統計值，推論能否拒絕虛無假說。

適合度檢定
適配度檢定（）：測試樣本的機率分配與母體有多相似。

母體假設為離散型均勻分配
當理論上的母體分配為每個類別機率一致時，即應適用離散型均勻分配的計算方法。  個觀察值於理論上應均勻分配在所有的  個欄位（類別）中，因此每個欄位（類別）的「理論次數」（或期望次數）為：
，其中 
自由度  。「」是總共要計算離差平方的個數（每個類別計算一次觀察值與理論值的差，再平方）。「」是因為對於計算而言只有一個限制條件：觀察值的個數總和為 。

母體假設為其他種分配
貝氏算法
例子

獨立性檢定
在同一個個體（例如：同一個人）身上有兩個二元變數（X, Y），例如 X（男／女）和 Y（右撇子／左撇子），觀察兩個變數的相關性。虛無假設是：兩個變數呈統計獨立性。在本例中：性別與慣用手是獨立事件。

首先，每個觀察值（每個抽出的人）會被重新編排到一個叫做「列聯表」（，又稱：條件次數表）的二維表格裡。本例的列聯表是2×2的構造（不算入Total欄位）：
          男  女  總計 右 43  44   87 左 9  4   13 總計 52  48  100

如果列聯表共有 r 行 c 列，那麽在獨立事件的假設下，每個欄位的「理論次數」（或期望次數）為：
，
其中 N 是樣本大小（觀察值的個數，亦即2×2列聯表所有欄位的總和，本例：N = 100）。本例的各欄位期望值如下（括號裡的數字）：
          男  女  總計 右 43 (45.24)  44 (41.76)   87 左 9 (6.76)  4 (6.24)   13 總計 52  48  100

統計值的公式是：

本例的統計值是：

自由度  是這樣得出：雖然總共要計算  個離差平方（每個欄位計算一次觀察值與理論值的差，再平方），但 X 變數有1個限制條件（樣本抽出後，男性的人數即固定），Y 變數也有1個限制條件（樣本抽出後，右撇子的人數即固定），所以可自由變動的欄位數只有 。
在本例中。

在 的條件下，得出卡方分配右尾機率 ，無法拒絕虛無假設，亦即：無法拒絕性別變數與慣用手變數互相獨立的假設。

限制
如果個別欄位的期望次數太低，會使機率分配無法近似於卡方分配。一般要求：自由度 時，期望次數小於5的欄位不多於總欄位的20%。
若自由度 ，且若期望次數  ，則近似於卡方分配的假設不可信。此時可以將每個觀察值的離差減去  之後再做平方，這便是。

 参考文献 
 引用 



 期刊文章 




 书籍 


Category:Categorical data
Category:常態性檢定
Category:統計近似