算法分析

在计算机科学中，算法分析（）是分析执行一个给定算法需要消耗的计算资源数量（例如计算时间，存储器使用等）的过程。算法的效率或复杂度在理论上表示为一个函数。其定义域是输入数据的长度（通常考虑任意大的输入，没有上界），值域通常是执行步骤数量（时间复杂度）或者存储器位置数量（空间复杂度）。算法分析是计算复杂度理论的重要组成部分。

理论分析常常利用渐近分析估计一个算法的复杂度，并使用大O符号、大Ω符号和大Θ符号作为标记。举例，二分查找所需的执行步骤数量与查找列表的长度之对数成正比，记为 ，简称为「对数时间」。通常使用渐近分析的原因是，同一算法的不同具体实现的效率可能有差别。但是，对于任何给定的算法，所有符合其设计者意图的实现，它们之间的性能差异应当仅仅是一个系数。

精确分析算法的效率有时也是可行的，但这样的分析通常需要一些与具体实现相关的假设，称为计算模型。计算模型可以用抽象机器来定义，比如图灵机。或者可以假设某些基本操作在单位时间内可完成。

假设二分查找的目标列表总共有 n 个元素。如果我们假设单次查找可以在一个时间单位内完成，那么至多只需要  单位的时间就可以得到结果。这样的分析在有些场合非常重要。

算法分析在实际工作中是非常重要的，因为使用低效率的算法会显著降低系统性能。在对运行时间要求极高的场合，耗时太长的算法得到的结果可能是过期或者无用的。低效率算法也会大量消耗计算资源。

 时间资源消耗 

时间复杂度分析和如何定义「一步操作」有紧密联系。作为算法分析成立的一项基本要求，单步操作必须能够在确定的常量时间内完成。

实际情况很复杂。举例，有些分析方法假定两个数相加是单个步骤，但这假定可能不成立。若被分析的算法可以接受任意大的数，则无法保证相加操作能够在确定的时间内完成。

通常有两种定义消耗的方法：, section 1.3

 单一消耗：每一步操作的消耗定义为一个常量，与参与运算的数据的大小无关。
 对数消耗：每一步操作的消耗，均与参与运算的数据的长度（位数）成正比。

后者更难以应用，所以只在必要时使用。一个例子是对接受任意精度数据的算法（比如密码学中用到的一些算法）的分析。

人们常常忽略一点：算法的效率的理论界限，通常建立在比实际情况更加严格的假定之上。因此在实际中，算法效率是有可能突破理论的界限的。Examples of the price of abstraction? , cstheory.stackexchange.com

经验分析的缺陷

算法是平台无关的，也即一个算法可以在任意计算机、任意操作系统上、用任意编程语言实现。因此，算法性能的相对好坏，不能仅仅通过基于运行记录的经验来判断。

举例：一个程序在大小为 n 的有序数组中搜索元素。假设该程序在一台先进的电脑 A 上用线性搜索实现，在一台老旧的电脑 B 上用二分搜索实现。性能测试的结果可能会如下：
 数组长度 n 计算机 A 的运行时间（以纳秒计） 计算机 B 的运行时间（以纳秒计） 15 7  100,000  65 32  150,000  250 125  200,000  1,000 500  250,000 

通过这些数据，很容易得出结论说计算机 A 运行的算法比计算机 B 的算法要高效得多。但假如输入的数组长度显著增加的话，很容易发现这个结论的错误。
以下是另一组数据：

 数组长度 n  计算机 A 的运行时间（以纳秒计） 计算机 B 的运行时间（以纳秒计） 15 7  100,000  65 32  150,000  250 125  200,000  1,000 500  250,000  ... ... ... 1,000,000 500,000 500,000 4,000,000 2,000,000 550,000 16,000,000 8,000,000 600,000 ... ... ... 63,072 × 1012 31,536 × 1012纳秒，约等于 1 年 1,375,000 纳秒，或 1.375 毫秒

计算机 A 运行的线性搜索算法具有线性时间。它的运行时间直接与输入规模成正比。输入大小若加倍，运行时间同样加倍。而计算机 B 运行的二分搜索算法具有对数时间。输入大小若加倍，运行时间仅仅增加一个常量，在此例中是 25,000 纳秒。即使计算机 A 明显性能更强，在输入不断增加的情况下，计算机 B 的运行时间终究也会比计算机 A 更短，因为它运行的算法的增长率小得多。

增长的阶

非正式地，如果一个关于  的函数 ，乘以一个系数以后，能够为某个算法在输入数据大小  足够大的情况下的运行时间提供一个上界，那么称此算法按该函数的阶增长。一个等价的描述是，当输入大小  大于某个  时，存在某个常数 ，使得算法的运行时间总小于 。常用大O符号对此进行描述。比如，插入排序的运行时间随数据大小二次增长，那么插入排序具有  的时间复杂度。大O符号通常用于表示某个算法在最差情况下的运行时间，但也可以用来表述平均情况的运行时间。比如，快速排序的最坏运行时间是 ，但是平均运行时间则是 。在算法分析的场合里，常用  或  作为  的简称。

 运行时间复杂度的分析 

分析一个算法的最坏运行时间复杂度时，人们常常作出一些简化问题的假设，并分析该算法的结构。以下是一个例子：

 1    从输入值中获取一个正数
 2    if n > 10
 3        print "耗时可能较长，请稍候……"
 4    for i = 1 to n
 5        for j = 1 to i
 6            print i * j
 7    print "完成！"

一台给定的电脑执行每一条指令的时间是确定但这对量子计算机不成立。的，并可以用 DTIME 描述。
假设第 1 步操作需时 T1，第 2 步操作需时 T2，如此类推。

步骤 1、2、7 只会运行一次。应当假设在最坏情况下，步骤 3 也会运行。步骤 1 至 3 和步骤 7 的总运行时间是：

步骤 4、5、6 中的循环更为复杂。步骤 4 中的最外层循环会执行 (n + 1) 次（需要一次执行来结束 for 循环，因此是 (n + 1) 次而非 n 次），因此会消耗 T4 × (n + 1) 单位时间。内层循环则由 i 的值控制，它会从 1 迭代到 n。
第一次执行外层循环时，j 从 1 迭代到 1，因此内层循环也执行一次，总共耗时 T6 时间。以及内层循环的判断语句消耗 3T5 时间。

所以，内层循环的总共耗时可以用一个等差级数表示：

上式可被因式分解可用数学归纳法证明 为：

类似地，可以分析内层循环的判断语句：

上式可被分解为：

因此该算法的总运行时间为：

改写一下：

通常情况下，一个函数的最高次项对它的增长率起到主导作用。在此例里，n² 是最高次项，所以有结论 。

严格证明如下：证明 

令 k 为一个常数，其大于从 T1 到 T7 所有的数。

因此有

，其中 

还可以假定所有步骤全部消耗相同的时间，它的值比 T1 到 T7 中任意一个都大。这样的话，这个算法的运行时间就可以这样来分析：比起上面的方法，这个方法忽略了结束循环的判断语句所消耗的时间，但很明显可以证明这种忽略不影响最后结果。

其他运算资源的增长率分析

运用与分析时间相同的方法可以分析其他运算资源的消耗情况，比如存储器空间的消耗。例如，考虑以下一段管理一个文件的内存使用的伪代码：

 while (文件打开)
     令 n = 文件大小
     for n 每增长 100kb
         为该文件分配多一倍的内存空间

在这个例子里，当文件大小 n 增长的时候，内存消耗会以指数增长，或 。这个速度非常快，很容易使得资源消耗失去控制。

参见
 平摊分析
 渐近分析
 渐近时间复杂度
 计算时间
 大O符号
 计算复杂性理论
 主定理
 NP-完全
 数值分析
 多项式时间
 程序优化
 性能分析
 可扩放性
 平滑分析
 时间复杂度，包括常见算法的增长率列表

注释

 来源 

 书籍


Category:计算复杂性理论