铁木辛柯梁理论

铁木辛柯梁是20世纪早期由美籍乌克兰裔科学家与工程师斯蒂芬·铁木辛柯提出并发展的力学模型。Timoshenko, S. P., 1921, On the correction factor for shear of the differential equation for transverse vibrations of bars of uniform cross-section, Philosophical Magazine, p. 744.Timoshenko, S. P., 1922, On the transverse vibrations of bars of uniform cross-section, Philosophical Magazine, p. 125.模型考虑了剪应力和转动惯性，使其适于描述短梁、层合梁以及波长接近厚度的高频激励时梁的表现。结果方程有4阶，但不同于一般的梁理论，如欧拉-伯努利梁理论，还有一个2阶空间导数呈现。实际上，考虑了附加的变形机理有效地降低了梁的刚度，结果在一稳态载荷下挠度更大，在一组给定的边界条件时预估固有频率更低。后者在高频即波长更短时效果更明显，反向剪力距离缩短时也有同样效果。

如果梁材料的剪切模量接近无穷，即此时梁为剪切刚体，并且忽略转动惯性，则铁木辛柯梁理论趋同于一般梁理论。

 控制方程 

 准静态铁木辛柯梁 
在静力学中铁木辛柯梁理论没有轴向影响，假定梁的位移服从于

式中是梁上一点的坐标，是位移矢量的三维坐标分量，是对于梁的中性面的法向转角，是中性面的在方向的位移。

控制方程是以下常微分方程的解耦系统：

静态条件下的铁木辛柯梁理论，若在以下條件成立時，等同于欧拉-伯努利梁理论

此時，可忽略上面控制方程的最后一项，得到有效的近似，式中是梁的长度。 

对于等截面均匀梁，合并以上两个方程，

 动态铁木辛柯梁 
在铁木辛柯梁理论中若不考虑轴向影响，则给出梁的位移

式中是梁内一点的坐标，是位移矢量的三维坐标分量，是对于梁的中性面的法向转角，是中性面方向的位移.

从以上假设，铁木辛柯梁，考虑到振动，要用线性耦合偏微分方程描述：

其中因变量是梁的平移位移和转角位移。注意不同于欧拉-伯努利梁理论，转角位移是另一个变量而非挠度斜率的近似。此外，

 是梁材料的密度（而非线密度）；
 是截面面积；
 是弹性模量；
 是剪切模量；
 是轴惯性矩；
 ，称作铁木辛柯剪切系数，由形状确定，通常矩形截面；
 是载荷分布（单位长度上的力）；



这些参数不一定是常数。

对于各向同性的线弹性均匀等截面梁，以上两个方程可合并成Thomson, W. T., 1981, Theory of Vibration with ApplicationsRosinger, H. E. and Ritchie, I. G., 1977, On Timoshenko's correction for shear in vibrating isotropic beams, J. Phys. D: Appl. Phys., vol. 10, pp. 1461-1466.

 轴向影响 
如果梁的位移由下式给出

其中是方向的附加位移，则铁木辛柯梁的控制方程成为

其中，是外加轴向力。任意外部轴向力的平衡依靠应力

式中是轴向应力，梁的厚度设为。

包含轴向力的梁方程合并为

 阻尼 
如果，除轴向力外，也考虑与速度成正比的阻尼力，形如

铁木辛柯梁的耦合控制方程成为

合并方程为

 切变系数 
确定切变系数不是直接的，一般它必须满足：

切变系数由泊松比确定。更严格的表达方法由多位科学家完成，包括斯蒂芬·铁木辛柯、雷蒙德·明德林（Raymond D. Mindlin）、考珀（G. R. Cowper）和约翰·哈钦森（John W. Hutchinson）等。工程实践中，斯蒂芬·铁木辛柯的表达一般状况下足够好。Stephen Timoshenko, James M. Gere. Mechanics of Materials. Van Nostrand Reinhold Co., 1972. Pages 207.

对于固态矩形截面：

对于固态圆形截面：

参考文献

Category:固体力学