二面體

在幾何學中，二面體是指由2個面組成的多面體，但由於三維空間中的多面體至少要具有4個面，因此少於四個面的多面體只能是退化的，換句話說，小於4個面的多面體無法具有非零的體積。二面體中最常見的就是多邊形二面體，即由兩個全等的平面圖型封閉出的零體積空間所形成的退化多面體。最簡單的二面體是一種球面鑲嵌：一角形二面體，它的對偶是一面形。另外二面體也可以以或正則地區圖的形式存在。

二面體中不存在任何柱體，因為如果柱體要僅有兩個面，代表其不存在側面，而這樣的立體就不是柱體了。

 常見的二面體 

 平面圖形 

任何平面圖形都可以視為一個二面體，並且屬於二面體群。

若將一封閉的平面圖形放置於三維空間也可以視為一個二面體，如多邊形二面體。他們皆屬於二面體群，是的基本域。

 球面鑲嵌 
二面體可以以球面鑲嵌的方式存在，最簡單的例子是二面形。
名稱二面形一角形二面體多邊形二面體圖像100px100px100px施萊夫利符號{2,2}{1,2}h{2,2}{n,2}考克斯特記號
 二面形 

一個二面形，是一種由二個鑲嵌在球體上的球弓形組成的多面形，施萊夫利符號中利用{2,2}來表示，該符號表達了二面形的結構——每個頂點都是2個二角形的公共頂點。

 一角形二面體 
一角形二面體，又稱為雙一角形（dimonogon）是一種退化的多邊形二面體，由2個一角形組成，這個幾何結構只有1個頂點，該頂點為2個一角形的公共頂點，在施萊夫利符號中用{1,2}表示，其具有2個面、1條邊和1個頂點，對偶多面體是一個一面體：一面形。

在球面幾何學中，一角形二面體是一個球面上的一個圓上任一頂點。這形成了一個二面體，施萊夫利符號中利用{1,2}來表示，與的兩個半球形一角形面，共用一個360°的邊和一個頂點。它的對偶是一面形，施萊夫利符號中利用{2,1}來表示，具有一個二角形面（一個完整的360°弓形），一個180°的邊緣，和兩個頂點，因此屬於一面體。

一角形二面體可以截角為三面形。
150px作為正則地區圖的一角形二面體。兩個面分別以藍色和黃色表示150px截角的一角形二面體，紅色為截角的截面，所形成的立體為三面形

 一角錐 
一角錐是指底面為一角形的錐體，由於其底面為一角形，因此在歐幾里得空間中，其已經退化無法擁有體積。在球面幾何學中，其可以作為球面鑲嵌，此時的一角錐由1個球面一角形和1個球面三角形構成。這種一角錐共有2個面、2條邊和2個頂點。一角錐的對偶多面體同樣是一角錐，因此是一種自身對偶的多面體。

 雙一角錐 
雙一角錐是以一角形為底的雙錐體，為一角柱的對偶多面體。由於其以一角形為底，因此在歐幾里得空間中，其已經退化無法擁有體積。在球面幾何學中，其可以作為球面鑲嵌，這種雙一角錐由2個面、3條邊和3個頂點組成，其兩個面都是三角形，但拓撲結構與三角形二面體不同，其中的兩個頂點為對蹠點，剩下的一個頂點位於赤道面上連結與對蹠點相連的兩條邊。雙一角錐的對偶多面體為一角柱。

 環形多面體 
部分的環形多面體也是二面體，例如{4,4}1,1是一種環形二面體，為環面上的兩個四邊形面共用2個頂點和4條邊；以及{3,6}1,0也是一種環面二面體，為環面上兩個三角形共用一個頂點和三條邊。

 正則地區圖 
部分的正則地區圖由兩個面組成，可以視為二面體的一種，例如虧格為2的二面正則地區圖有S2:{8,4}、S2:{6,6}和S2:{5,10}。其中S2:{8,4}為由兩個八邊形面共用4個頂點和8條邊，並且八邊形在頂點周圍自我重複相鄰兩次，也就是頂點周圍圍繞著4個八邊形，且對應的皮特里多邊形為八邊形，因此其在施萊夫利符號中可以用{8,4}8來表示；S2:{6,6}為由兩個六邊形共用兩個頂點和6條邊，並且六邊形在頂點周圍自我重複相鄰三次，也就是其頂點周圍圍繞著六個六邊形，且對應的皮特里多邊形為二角形，因此在施萊夫利符號中可以用{6,6}2來表示；S2:{5,10}為由兩個五邊形共用一個頂點和5條邊，並且五邊形在頂點周圍自我重複相鄰五次，也就是其頂點周圍圍繞著10個五邊形，且對應的皮特里多邊形為二角形，因此在施萊夫利符號中可以用{5,10}2來表示。
虧格名稱施萊夫利符號頂點邊面組成面頂點圖皮特里多邊形對偶2S2:{8,4}{8,4}8482八邊形四邊形（4個八邊形的公共頂點）八邊形S2:{4,8}（4個面）S2:{6,6}{6,6}2262六邊形六邊形（6個六邊形的公共頂點）二角形自身對偶S2:{5,10}{5,10}2152五邊形十邊形（10個五邊形的公共頂點）二角形S2:{10,5}（1個面）3S3:{12,4}{12,4}66122十二邊形四邊形（4個十二邊形的公共頂點）六邊形S3:{4,12}（6個面）S3:{8,8}4{8,8}4282八邊形八邊形（8個八邊形的公共頂點）四邊形自身對偶S3:{8,8}2{8,8}2二角形S3:{7,14}{7,14}2172七邊形十四邊形（14個七邊形的公共頂點）二角形S3:{14,7}（1個面）4S4:{16,4}{16,4}168162十六邊形四邊形（4個十六邊形的公共頂點）十六角形S4:{4,16}（8個面）S4:{12,6}{12,6}44122十二邊形六邊形（6個十二邊形的公共頂點）四邊形S4:{6,12}（4個面）S4:{10,10}{10,10}22102十邊形十邊形（10個十邊形的公共頂點）二角形自身對偶S4:{9,18}{9,18}2192九邊形十八邊形（18個九邊形的公共頂點）二角形S4:{18,9}（1個面）

 圓錐 

在不嚴謹的情況下，圓錐也能算是一種二面體，因為它可以看做是只有兩個面的幾何體，由一曲面（側面）和一圓形平面（底面）所組成。

 二面體列表 
名稱種類圖像符號頂點邊面χ面的種類對稱性一角形二面體多邊形二面體75px{1,2}11222個一角形20pxC1v（*22）二面形多面形多邊形二面體75px{2,2}22222個二角形20pxD2h（*222）一角錐角錐退化多面體球面多面體75px22221個一角形1個三角形C1v, [1]雙一角錐雙錐體退化多面體球面多面體75px 33222個三角形D1h, [1,2], (*221) order 4四面形半形（hemi-4-hosohedron）多面形多面體半形{2,4}4/212212個二角形20px三維多邊形多邊形二面體60px{n,2}nn222個全等的多邊形15pxDnh（*n22）二階無限邊形鑲嵌鑲嵌圖100px{∞,2}∞∞222個無限邊形40px[∞,2], (*∞22){4,4}1,1環形多面體100px{4,4}1,124202個正方形18px{3,6}1,0環形多面體100px{3,6}1,013202個正三角形20pxS2:{8,4}正則地區圖{8,4}8482 -22個八邊形S2:{6,6}正則地區圖{6,6}2262 -22個六邊形S2:{5,10}正則地區圖{5,10}2152 -22個五邊形圓錐體非嚴格多面體曲面柱體75px11221個曲面1個圓形

 參見 
二角形
多面形
多邊形

 參考文獻 

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