大十二面體

在幾何學中，大十二面體又稱為第二星形正十二面體，是一個由6對互相平行的正五邊形組成的非凸正多面體，同時也是一種星形正多面體，其外形有如內有星形圖案的正二十面體或每面內凹三角錐的正二十面體，是三種星形十二面體之一。其頂點的布局與正二十面體相同，但邊的連結方式不同，因此可以視為正二十面體經過後的多面體，對偶多面體為小星形十二面體。這個多面體被認為是由在1810年發現, Memoire sur les polygones et polyèdres. J. de l'École Polytechnique 9, pp. 16–48, 1810.，雖然在於1568年出版的著作《Perspectiva Corporum Regularium》中有一幅形狀非常類似大十二面體的圖畫。1983年時，溫尼爾在他的書《多面體模型》中列出許多星形多面體模型，其中也收錄了此種形狀，並給予編號W21。

 性質 
大十二面體是4個非凸正多面體之一，具二十面體的對稱性，由12個面、30條邊和12個頂點所組成，其12個面皆為正五邊形面，其中12個五邊形中有6對互相平行的五邊形。其每個頂角都是由5個五邊形以五角星的路徑構成的五面角，因此在施萊夫利符號中可利用{5,5/2}來表示，意為此立體的所有頂角組成的面皆為五邊形（施萊夫利符號：{5}），並且以五角星（施萊夫利符號：{5/2}）的方式構成。而在中則利用來表示。在抽象幾何學中，大十二面體對應到一個虧格為4的五階五邊形正則地區圖（施萊夫利符號：{5,5}），同時，其對偶多面體小星形十二面體亦對應到相同的正則地區圖，因此這個正則地區圖是一個自身對偶的幾何結構。
外觀星狀核凸包100px100px100px正十二面體100px正二十面體

 面的組成 
大十二面體由12個正五邊形面組成，每個正五邊形面都與另外5個正五邊形面互相相交，因此，其面有一部份是隱沒在圖形內部的，如下左圖，以白色表示，而露在外部的則以藍色表示。
220px大十二面體的面200px同一個五邊形面以同一種顏色標示

 二面角 
大十二面體是一種星形正多面體Coxeter, Star polytopes and the Schläfli function f(α,β,γ) p. 121 1. The Kepler–Poinsot polyhedra，因此大十二面體僅有一種二面角，其值為五平方根倒數的反餘弦值：

 頂點坐標 
由於大十二面體的凸包為正二十面體，且無頂點落在凸包內，因此大十二面體的頂點坐標會與相同邊長的正二十面體相同，邊長為單位長、幾何中心在原點，則其為：
、
、
。

 圖像 
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透視模型球面鑲嵌200px （旋轉動畫）200px此多面體可以表示成一個密鋪密度為3的球面鑲嵌（將其中一個五邊形面以表示）展開圖星狀圖大十二面體可以轉換成外觀相同的簡單多面體，此時，多面體變為由20個凹三角錐組成，因此可以展開成60個鈍角等腰三角形。200px其也等同於第二星形十二面體，其佔據了星形十二面體的胞中，由內算來第二層的所有星形胞，溫尼爾將其給予編號W21。

 使用 

星形正多面體經常出現在藝術創作中，部分小說也有使用大十二面體進行創作，如《遊戲人生》。除了藝術創作外，常見文化也有關於大十二面體的使用，例如部分的魔術方塊之外型，以及其投影圖曾作為視覺化的相關實驗性教材。
 在常見文化中 
 魔術方塊亚历山大之星的外形也是大十二面體。

 在小說中 
 在小說《遊戲人生》中，唯一神持有的星杯外形為大十二面體。

 在電腦科學中 
 大十二面體也可以做為協助推算的工具之一Baez, John "Golay code, " Visual Insight, December 1, 2015.。

 相關多面體與鑲嵌 
部分多面體與鑲嵌與大十二面體有一些幾何關聯。例如部分多面體可透過大十二面體經過康威變換而得到，例如截角大十二面體、截半大十二面體、以及其對偶多面體小星形十二面體。

 對偶多面體 

大十二面體的對偶多面體同樣是一個星形正多面體，為小星形十二面體，由12個五角星面組成。

 康威變換的結果 
部分多面體可透過大十二面體經過康威變換而得到，例如截角大十二面體，即截去大十二面體所有頂點後得到的立體：
名稱小星形十二面體截角小星形十二面體截半大十二面體截角大十二面體大十二面體圖像100px100px100px100px100px

 相關三角化多面體 
大十二面體可以轉換成外觀相同的簡單多面體，此時，多面體變為由20個凹三角錐組成，這時，其拓樸結構則與三角化二十面體相同，皆是在正二十面體的每個三角形面接上三角錐。
星形三角化二十面體小三角六邊形二十面體三角化二十面體正二十面體大十二面體150px150px150px150px150px

 星形鑲嵌圖 
其也可以視為一系列施萊夫利符號中可利用{n,n/2}表示的星形鑲嵌之一，例如七階七角星鑲嵌John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strass, The Symmetries of Things 2008,  (Chapter 19, The Hyperbolic Archimedean Tessellations)：

 對偶複合體 

200px
大十二面體與其對偶的複合體為複合小星形十二面體大十二面體。其共有24個面、60條邊和24個頂點，其尤拉示性數為-12，虧格為7，而在這個立體圖形中，大十二面體完全隱沒於小星形十二面體而不可見。

 參見 

 正二十面體
 正十二面體

 參考文獻 

參考資料

參考書目



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