空间群

在数学和物理学中，空间群（space group）是空间中（通常是三维空间）一种形态的空间对称群。在三维空间中有219种不同的类型，或230种不同的手性类型。对超过三维的空间中的空间群也有研究，它们有时被称作群，并且是离散的紧群，具有欧氏空间的等距同构。它是由俄国结晶学家费多洛夫和德国结晶学家薛弗利斯（Artur Moritz Schoenflies，1853-1928）于1890至1891年间各自独立地先后推导得出来的。

在晶体学中，空间群也被称为群，是对晶体对称型的一种描述。三维空间群的权威参考文献是《国际晶体学表》。空间群可以分为两类：一类称为简单空间群或称点空间群；一类称为复杂空间群或称非点空间群。其中73种为简单空间群，余下的157种为复杂空间群。

三维的空间群

 # 晶系（空间群数量）布拉维晶格 点群 空间群 (国际短符号) 國際標記法 又名向夫立符號 軌形  點群階 1三斜晶系(2)50px 1  C111[ ]+1 P1 2  Ci1×[2+,2+]2P  3–5单斜晶系(13)40px40px 2  C2  22 [2]+  2P2, P21C2 6–9 m Cs *11 [ ]2Pm, PcCm, Cc  10–15 2/m C2h 2* [2,2+]4P2/m, P21/mC2/m,  P2/c, P21/cC2/c  16–24正交晶系(59)40px40px40px40px 222   D2 222 [2,2]+4P222, P2221, P21212, P212121, C2221, C222, F222, I222, I212121  25–46 mm2  C2v *22 [2]4Pmm2, Pmc21, Pcc2, Pma2, Pca21, Pnc2, Pmn21, Pba2, Pna21, Pnn2Cmm2, Cmc21, Ccc2, Amm2, Aem2, Ama2, Aea2Fmm2, Fdd2Imm2, Iba2, Ima2   47–74 mmm  D2h *222 [2,2]8Pmmm, Pnnn, Pccm, Pban, Pmma, Pnna, Pmna, Pcca, Pbam, Pccn, Pbcm, Pnnm, Pmmn, Pbcn, Pbca, PnmaCmcm, Cmce, Cmmm, Cccm, Cmme, CcceFmmm, FdddImmm, Ibam, Ibca, Imma  75–80 四方晶系(68)45px45px 4 C444[4]+4P4,  P41, P42, P43, I4, I41  81–82  S42×[2+,4+]4P, I  83–88 4/m C4h4*[2,4+]8P4/m, P42/m, P4/n, P42/nI4/m, I41/a  89–98  422   D4224[2,4]+8P422, P4212, P4122, P41212, P4222, P42212, P4322, P43212I422, I4122   99–110  4mm  C4v*44[4]8P4mm, P4bm, P42cm, P42nm, P4cc, P4nc, P42mc, P42bcI4mm, I4cm, I41md, I41cd  111–122  2m  D2d2*2[2+,4]8P2m, P2c, P21m, P21c, Pm2, Pc2, Pb2, Pn2Im2, Ic2, I2m, I2d   123–142  4/mmm  D4h*224[2,4]16P4/mmm, P4/mcc, P4/nbm, P4/nnc, P4/mbm, P4/mnc, P4/nmm, P4/ncc, P42/mmc, P42/mcm, P42/nbc, P42/nnm, P42/mbc, P42/mnm, P42/nmc, P42/ncmI4/mmm, I4/mcm, I41/amd, I41/acd 143–146三方晶系(25)60px60px 3 C333[3]+3P3, P31, P32R3  147–148  S63×[2+,6+]6P, R  149–155 32 D3223[2,3]+6P312, P321, P3112, P3121, P3212, P3221R32  156–161 3m C3v*33[3]6P3m1, P31m, P3c1, P31cR3m, R3c  162–167 m D3d2*3[2+,6]12P1m, P1c, Pm1, Pc1Rm, Rc 168–173 六方晶系(27)60px 6 C666[6]+6P6, P61, P65, P62, P64, P63  174  C3h3*[2,3+]6P 175–176 6/m C6h6*[2,6+]12P6/m, P63/m  177–182 622 D6226[2,6]+12P622, P6122, P6522, P6222, P6422, P6322  183–186 6mm C6v*66[6]12P6mm, P6cc, P63cm, P63mc  187–190 m2 D3h*223[2,3]12Pm2, Pc2, P2m, P2c  191–194 6/mmm D6h*226[2,6]24P6/mmm, P6/mcc, P63/mcm, P63/mmc  195–199立方晶系(36)60px60px60px 23 T332[3,3]+12P23, F23, I23P213, I213 200–206 m Th 3*2[3+,4]24Pm, Pn, Fm, Fd, Im, Pa, Ia 207–214 432 O432[3,4]+24P432, P4232F432, F4132I432P4332, P4132, I4132 215–220 3m Td *332[3,3]24P3m, F3m, I3mP3n, F3c, I3d  221–230 mm Oh *432[3,4]48Pmm, Pnn, Pmn, PnmFmm, Fmc, Fdm, FdcImm, Iad

注: e 面是双滑移面，是在两个不同方向的滑移，存在于七个正交群，五个四方群和五个立方群中，都具有含有中心的晶格，官方的符号为e

参考资料

外部链接

 International Union of Crystallography 
 Point Groups and Bravais Lattices
  Bilbao Crystallographic Server
 Space Group Info (old) 
 Space Group Info (new) 
 Crystal Lattice Structures: Index by Space Group
 Full list of 230 crystallographic space groups
 Interactive 3D visualization of all 230 crystallographic space groups 

 The Geometry Center: 2.1 Formulas for Symmetries in Cartesian Coordinates (two dimensions) 
 The Geometry Center: 10.1 Formulas for Symmetries in Cartesian Coordinates (three dimensions) 

Category:對稱
Category:晶体学
Category:空间群
Category:离散群