立方体堆砌

立方体堆砌（Cubic Honeycomb）John H. Conway, Heidi Burgiel, Chaim Goodman-Strauss, (2008) The Symmetries of Things, ISBN 978-1-56881-220-5 (Chapter 21, Naming the Archimedean and Catalan polyhedra and tilings, Architectonic and Catoptric tessellations, p 292-298, includes all the nonprismatic forms)是三维空间内唯一的正密铺，也是28个半正密铺之一，由立方体堆砌而成，其縮寫為chon。它亦可被看作是四维空间中由无穷多个立方体胞组成的二胞角为180°的四维正无穷胞体，因此在许多情况下它被算作是四维的多胞体。

立方形家族里的多胞形二胞角总是90°，因此总能独自完成超平面密铺，这些密铺又构成了另一家族“立方形堆砌”，具有对称性，有施莱夫利符号形式。

 性質 
立方体堆砌由立方體填滿空間組成，每個頂點都是8個立方體的公共頂點、每條稜都是4個立方體的公共稜。
 頂點坐標 
100px|left|thumb|簡單立方。
立方体堆砌頂點的笛卡爾坐標為：
(i, j, k)
對所有的i,j,k皆為立方體邊長的整數倍

因此邊長為1立方體堆砌也可以視為空間中的座標網格。

由於立方体堆砌是一個自身對偶多胞形，因此其幾何中心位置同樣可以構成另一個立方体堆砌，因此其幾何中心座標也同樣滿足上述式子，而i,j,k值則為相鄰立方体幾何中心距離的整數倍。

 正交投影 
+ 正交投影對稱性p6m (*632)p4m (*442)pmm (*2222)實體圖120px120px120px框線圖120px120px120px

相關堆砌
立方體堆砌是平面正方形鑲嵌{4,4}在三維空間的類比，他們的形式皆為{4,3,...,3,4}，為立方形堆砌家族的一部份，在這個系列的鑲嵌都是自身对偶。他也是28種由凸均勻多面體組成的均勻鑲嵌之一。

 自然界中的立方体堆砌 
作为少有的三维半正堆砌，自然界中许多晶体都具有类似立方体堆砌的晶体结构，在固体物理学中被称为“立方晶系”，许多固体化合物，如氯化钠、硫化锌、氯化亚铜、萤石、三氧化铼和金属单质，如铝、钒、锂等，都具有这种晶系的结构。
 簡單立方晶格 
簡單立方晶格可以被扭曲成較低的對稱性，通過較低的晶系代表：
晶系單斜三斜正交四方三方立方胞單位晶格平行六面體長方體三方偏方面體正方體點群阶旋轉對稱群[ ], (*)Order 2[ ]+, (1)[2,2], (*222)Order 8[2,2]+, (222)[4,2], (*422)Order 16[4,2]+, (422)[3], (*33)Order 6[3]+, (33)[4,3], (*432)Order 48[4,3]+, (432)圖示80px80px60px80px80px空間群旋轉對稱群Pm (6)P1 (1)Pmmm (47)P222 (16)P4/mmm (123)P422 (89)R3m (160)R3 (146)Pmm (221)P432 (207)考克斯特式 -  [∞]a×[∞]b×[∞]c [4,4]a×[∞]c - [4,3,4]a -    - 

 表面著色 
作为立方形堆砌家族其中一员，立方体堆砌有对称性，有施莱夫利符号{4,3,4}，考克斯特符号，除此之外，作为一个空间堆砌，它有Pmm空间平移对称性。

而然，立方体堆砌亦可以被看作是许多具有不同对称性的半正堆砌，它们所对应的对称性、施莱夫利符号、考克斯特符号见下表：
名称考克斯特标记空间群施莱夫利符号有限部分图像颜色组合（字母表示）立方体堆砌[4,3,4]Pmm{4,3,4}  1: aaaa/aaaa三次截半半立方体堆砌[4,31,1]Fmm{4,31,1}  2: abba/baab截面立方体堆砌[4,3,4]Pmmt0,3{4,3,4} 4: abbc/bccd[[4,3,4]]Pmm (229)t0,3{4,3,4} 4: abbb/bbba正四棱柱堆砌[4,3,4,2,∞]{4,4}×t{∞}  2: aaaa/bbbb截棱正四棱柱堆砌[4,3,4,2,∞]t1{4,4}×{∞}  2: abba/abba无穷次无穷次无穷边形[∞,2,∞,2,∞]t{∞}×t{∞}×{∞}  4: abcd/abcd无穷次无穷次无穷边形[∞,2,∞,2,∞]t{∞}×t{∞}×t{∞}  8: abcd/efgh

 相關多面體和鑲嵌 
立方体堆砌與四維超正方體施萊夫利符號{4,3,3}相似，但超正方體只存在四維空間，且每個邊的周為只有三個正方體而立方体堆砌有四個。此外，也可以有每個邊的周為有五個正方體，他稱為五階立方体堆砌，存在於雙曲空間，施萊夫利符號為{4,3,5}。
+ {p,3,4}空間S3E3來源有限仿射緊湊仿緊非緊施式{3,3,4}{4,3,4}{7,3,4}{8,3,4}... {∞,3,4}圖像60px60px80px80px胞40px{3,3}40px{4,3}40px{5,3}40px{6,3}40px{7,3}40px{8,3}40px{∞,3}

考克斯特群[4,3,4]、產生15個排列均勻的鑲嵌中，9個具有獨特的的幾何形狀，包括交替立方体堆砌、擴展立方堆砌是幾何上相同的立方體堆砌。

空間群纖維流形擴展對稱群擴展标记阶蜂巢體（堆砌）Pmm(221)4−:2[4,3,4]×1 1,  2,  3,  4, 5,  6Fmm(225)2−:2[1+,4,3,4]↔ [4,31,1]↔ Half 7,  11,  12,  13I3m(217)4o:2[[(4,3,4,2+)]]Half × 2 (7),Fdm(227)2+:2[[1+,4,3,4,1+]]↔ [[3[4]]]↔ Quarter × 2 10,Imm(229)8o:2[[4,3,4]]×2 (1), 
 8,  
 9

考克斯特群[4,31,1], , 考克斯特群產生 9個排列均勻的鑲嵌中，其中4個具有獨特的的幾何形狀，包括交替立方体堆砌。
空間群纖維流形擴展對稱群擴展标记阶蜂巢體（堆砌）Fmm(225)2−:2[4,31,1]↔ [4,3,4,1+]↔ ×1 1,   2,  3,  4Fmm(225)2−:2<[1+,4,31,1]>↔ <[3[4]]>↔ ×2 (1),  (3)Pmm(221)4−:2<[4,31,1]>×2 5,  6,  7,  (6),  9,  10,  11
立方體堆砌是考克斯特群中的五個結構特別的均勻堆砌 , A000029  6-1 cases, skipping one with zero marks之一，其對稱性可以乘以環在考克斯特-迪肯符號的對稱性：
空間群纖維流形方形對稱群擴展對稱群擴展标记擴展阶蜂巢體（堆砌）F3m(216)1o:2a1[3[4]]×1 (None)Fdm(227)2+:2p2[[3[4]]]↔  ×2 3Fmm(225)2−:2d2<[3[4]]>↔ [4,3,31,1]↔  ×2 1, 2Pmm(221)4−:2d4[2[3[4]]]↔ [4,3,4]↔  ×4 4Imm(229)8o:2r8[4[3[4]]]↔ [[4,3,4]]↔  ×8 5,  (*)

 参考 

 H.S.M.考克斯特 Regular Polytopes, (第三版, 1973), Dover参与编辑, ISBN 0-486-61480-8 p. 296, Table II:正堆砌
 George Olshevsky, Uniform Panoploid Tetracombs, Manuscript (2006) （包含11个凸半正镶嵌、28个凸半正堆砌、和143个凸半正四维砌的全表）
 Branko Grünbaum, 三维正镶嵌. Geombinatorics 4(1994), 49 - 56.
 Kaleidoscopes: Selected Writings of H.S.M. Coxeter, F. Arthur Sherk, Peter McMullen, Anthony C. Thompson, Asia Ivic Weiss, Wiley-Interscience Publication参与编辑, 1995, ISBN 978-0-471-01003-6  
 (22页) H.S.M.考克斯特, Regular and Semi Regular Polytopes I, [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10] (1.9 半正空间镶嵌)
 A. Andreini, Sulle reti di poliedri regolari e semiregolari e sulle corrispondenti reti correlative (On the regular and semiregular nets of polyhedra and on the corresponding correlative nets), Mem. Società Italiana della Scienze, Ser.3, 14 (1905) 75–129.

 Uniform Honeycombs in 3-Space: 01-Chon 

Category:多胞体
Category:堆砌 (幾何)