非整数进位制

非整数进位制是指底数不是正整數的进位制。對於一個非正整數的底數β > 1，以下的數值:

為

而數字di為小於β的非負整數。此進位制可以配合所使用β，稱為β进制或β展開，後者的名稱是數學家Rényi在1957年開始使用，而數學家Parry在1960年第一個進行相關的研究。每一個實數至少有一個β进位制的表示方式（也可能是無限多個）。

β进制可以應用在编码理论及準晶體模型的描述。
建構
β进制是十進制的延伸。十進制的表示法不唯一（例如，1.000... = 0.999...），不過所有有限位數的十進制表示法是唯一的。有限位數β进制就不一定有此特性，例如，在β = φ（黃金比例）時，φ + 1 = φ。

針對特定實數，選擇其β进制各位數的方式，可以用以下的贪心算法產生，本質上是來自，此處的公式則來自。

令是底數，x為非負的實數。令是x的取整函数（小於等於x的最大整數），令是x的小數部份。存在一整數k使得。令

且

針對，定義

換句話說，x的正規β進制表示法可以用以下方式得到：先選擇最大的dk，使得，再選擇最大的dk−1，使得，以此類推。此作法會選擇可以表示x，字典序最大的字串。

若是整數進位制，以上方式會產生一般整數進位制下的數值。因此此建構方式將一般的演算法推廣到非整數的基底β。

 參考文獻 

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小數展開式
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黄金进制：底數為黄金比φ的进位制
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