Σ-有限测度

σ-有限测度是测度论中的一个概念。對测度空间  來說，若测度   其對任意   的取值  是一个有限的实数（而不是无穷大），那么就称这个测度为有限测度。

若測度空間的母集合  可表示为  的某有限可測集合序列  的并集：



則么就称这个测度为有限测度。進一步的，如果  的某个子集能够表示为  之中的某可測集合序列的并集，那么也称这个子集拥有σ-有限测度。

例子
勒贝格测度：实数集上的勒贝格测度不是有限测度，因为整个实数轴的“长度”，也就是全集的测度是无穷大。但是，勒贝格测度是有限测度，因为可以表示为所有形如的区间的并集，而每个区间的测度都是有限的（等于）：

计数测度：实数集上的计数测度，是将任何的子集的元素“个数”作为测度值的测度：含有无穷多个元素的子集的测度就是无穷大。这个测度不是有限测度，因为实数集是不可数的，它不能表示成可数个只包含有限个元素的子集的并集。不过，自然数集上的计数测度就是有限测度，因为全集可以（很自然地）表示成可数个测度为1的子集的并集：

局部紧群：设是一个局部紧的拓扑群，并且是紧致的，那么群上的哈尔测度是有限测度。

性质
有限测度中，全集可以表示为中的可数个有限测度子集的并集：，但实际上表示的方法可以不止一种。比如说，令

那么，也就是说也是一系列有限测度的子集，并且，所以。随着下标增大，的测度越来越大，趋向正无穷大，并且。这称为全集的升序表示。而如果令：
，
那么也是一系列测度有限，并且两两不相交的集合（交集为空集），并且。被称为全集的一个划分，或者称为全集的不交覆盖。

半有限和一致有限
与有限测度的概念相关的概念还有半有限测度和一致有限测度。一致有限测度是一类特殊的有限测度。它不仅要求全集能够表示为中的可数个有限测度子集的并集：，而且要求存在一个正实数，使得这些子集的测度（的绝对值）都小于等于。

勒贝格测度和自然数集上的计数测度都是一致有限测度。但并非所有的有限测度都是一致有限测度。比如说自然数集上如下定义的有限测度：

就不是一致有限测度。

半有限测度则是比有限测度更宽泛的一种定义。如果上的一个测度中，任意一个测度为无穷大的子集都包含有测度为任意大有限值的子集，那么就说这个测度是半有限测度。任何的有限测度都是半有限测度，只要考虑它的升序表示，但反之则不然。比如说实数集上的计数测度就是半有限测度，但它并不是有限测度。

与概率测度的等价性
给定，其上的任何有限测度都等价于一个的概率测度。具体的构造方法是：令为全集的一个不交覆盖（划分），并且每个在下的测度都是有限的；再令为一个由正实数构成的数列，并且级数和

那么以下方式定义的测度：

就是一个与等价的概率测度，因为两者有着相同的零测集。

参见
富比尼定理
叶戈罗夫定理
拉东-尼科迪姆定理

参考资料


Category:测度论