施图姆-刘维尔理论

在数学及其应用中，以雅克·夏尔·弗朗索瓦·施图姆和约瑟夫·刘维尔的名字命名的施图姆-刘维尔方程（）是指二阶线性实微分方程：

其中给定系数函数, , 和均为已知函数，和是以为自由变量的未知的待求解函数，称为解；是一个未定常数。又记为，称为'权（weight）'函数或'密度(density)'函数。所有二阶线性常微分方程都可以简化为这种形式。

在一个正则的施图姆-刘维尔（S-L）本征值问题中，在有界闭区间[a,b]上，三个系数函数应满足以下性质：
 ；
  均连续；
  满足边界条件  及 （）。
只有一些恰当的能够使得方程拥有满足上述条件的非平凡解（非零解）。这些称为方程的特徵值，对应的非平凡解称为特徵函数，而特徵函数的集合则称为特徵函数族。施、刘二人在一些由边界条件确定的函数空间中，引入埃尔米特算子，形成了施图姆-刘维尔理论。这个理论提出了特徵值的存在性和渐近性，以及特徵函数族的正交完备性。这个理论在应用数学中十分重要，尤其是在使用分离变量法求解偏微分方程的时候。

施图姆-刘维尔理论提出：
 施图姆-刘维尔特徵值问题，存在无限多个实数特徵值，而且可以排序为：
；
 对于每一个特徵值都有唯一的（已被归一化的）特徵函数，且在开区间(a,b)上有且仅有n-1个零点。其中称为满足上述施图姆-刘维尔特徵值问题的第n个基本解；
 已归一化的特徵函数族在希尔伯特空间上有正交性和完备性，形成一组正交基：

其中是克罗内克函数。

 一些函数的施图姆-刘维尔形式 
只要乘以一个恰当的积分因子，所有二阶常微分方程都可以写成施图姆-刘维尔形式。

 贝塞尔方程 



 等价于：



 勒让德方程 



 注意到 D(1 − x2) = −2x，因此等价于：



 二体系统施图姆-刘维尔方程 
二体问题常用的换元的技巧是通过  和  将原方程中对时间的求导转化为对角度  的求导，并得到Sturm-Liouville型方程

 使用积分因子的例子 



 两边同时除以x3:



 再乘以积分因子：



 得到：



 又注意到：



 因此原方程等价于：



 一般形式二阶常微分方程的积分因子 



 两边同时乘以积分因子：



 整理后得到：



 或者把积分因子写出来：



 参阅 
 简正模

 参考文献 

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