廣義頻譜圖

廣義頻譜圖（Generalized spectrogram），為頻譜圖的通用型。為了得知信號隨著時間的頻率分布狀態，以頻譜圖觀察時，其解析度受到測不準原理影響，頻率解析度與時間解析度相乘為定值。為解決此問題，於是將頻譜圖推廣至廣義頻譜圖。

一段隨時間變化的信號，同時具有時域和頻域的特徵，若想要了解一個信號在某段時間內的頻率特徵，最好的方式就是使用時頻分析，觀察一段信號的時頻分布圖。頻譜圖(Spectrogram)就是其中一種同時表示時間和頻率特徵的分布圖。

廣義頻譜圖的定義
以高斯函數作為窗函數(window function)，使用時頻分析，求出兩組不同長度的窗函數的加伯轉換，即  和  ，再將  取共軛複數後相乘。公式如下：



其中為加伯轉換的窗函數，為時間 為頻率。

加伯轉換的公式如下：

若將，則與原本頻譜圖無異。

長度不同的窗函數，其時頻域的解析度不同，依據測不準原理，較窄的窗函數，時間解析度較好，而頻率解析度較差；相反的，較寬的窗函數，頻率解析度較好，而時間解析度較差。

為了同時在時間和頻率軸上都達到更好的解析度，把在頻譜圖原定義中的分為兩個長短不同的波形。例如 : 可以讓長度較寬，在頻域上面有良好的解析度，而則長度較窄，在時域上有良好的解析度。先分別運算和，再相乘，變為。如此一來時域和頻域上的解析度都能兼顧到。

優點
 有優於測不準原理的時間解析度與空間解析度。
 由於各自的加伯轉換並不會有cross term，故此方法也不會有cross term出現。
 有省時方法：當一組加伯轉換中的數值為零時，我們將不用去計算另一組，因為相乘後還是零。

缺點
 需要計算兩組加伯轉換，即與頻譜圖相比，最高會多花兩倍的時間
 需要去最佳化與

例子
當我們的輸入信號為：

我們先分別求出 與  的 。經Matlab計算後，如下圖
缩略图|居中|加伯轉換中，sigma=0.1的頻譜圖
缩略图|居中|加伯轉換中，sigma=1.6的頻譜圖
將其中一個取共軛複數後，兩者相乘，得到廣義頻譜圖如下；
缩略图|居中|廣義頻譜圖

我們可以與的加伯轉換比較：
缩略图|居中|加伯轉換中，sigma=0.4.的頻譜圖

可以發現廣義頻譜圖無論是在時間解析度下，或是頻率解析度下，都優於的加伯轉換。

變形
原本的廣義頻譜圖公式為

我們可以對此再進行一般化，如下

或者如下方形式：

兩種方法新增了、兩變數，期望能找到更好的解析度。
 參見 
 時頻分析
 頻譜圖
 短時距傅立葉變換
 加伯轉換
 韋格納分布

參考來源
 丁建均上課講義。時頻分析與小波轉換 ，p189-p192。2016.1.19
 P. Boggiatto, G. De Donno, and A. Oliaro,"Two window spectrogram and their integrals,"Advances and Applications, vol. 205, pp. 251–268, 2009.。

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