友誼數

在數論中，友誼數是指二個正整數m和n滿足σ(m)/m = σ(n)/n的關係，其中σ(n)是因數函數，則稱它們是朋友，此二個整數互為友誼數。

例如(1+2+4+5+8+10+16+20+40+80)/80 = (1+2+4+5+8+10+20+25+40+50+100+200)/200 = 93/40，因此80和200都是友誼數。

友誼數為传递关系，若m和n為友誼數，n和p為友誼數，則m和p必為友誼數。

所有的已知的友誼數有6, 12, 24, 28, 30, ...（，按σ(n)/n相同的組對排列：、）

確定不是友誼數的數即為孤獨數。但有些數尚未能證明它是否為孤獨數，例如10。

範例
另一個例子：30和140形成友誼數的一對，因為30和140滿足以下的等式

。

數字2480、6200、40640也是該俱樂部成員，因為它們各自的豐度等於12/5。

作為奇數的友誼數，請考慮135和819（友誼數比例16/9），也有一奇一偶的友誼數，例如：42和544635（友誼數比例16/7），奇數的朋友也可能小於偶數，例如：84729645和155315394（友誼數比例896/351）或6517665、14705145、1119251474478和2746713837618（友誼數比例64/27）。

平方數可以是友誼數，例如：693479556（26334的平方）和8640、52416的友誼數比例都是127/36，立方數也可以是友誼數，例如：3375（15的立方）和6975的友誼數比例都是416/225。

較小整數的狀況
在下表中，證明是友誼數，證明是孤獨數，如果n和σ(n)互質則不標顏色，其他未知狀況用標示。

      1  1  1 2  3  3/2 3  4  4/3 4  7  7/4 5  6  6/5 6  12  2 7  8  8/7 8  15  15/8 9  13  13/9 10  18  9/5 11  12  12/11 12  28  7/3 13  14  14/13 14  24  12/7 15  24  8/5 16  31  31/16 17  18  18/17 18  39  13/6 19  20  20/19 20  42  21/10 21  32  32/21 22  36  18/11 23  24  24/23 24  60  5/2 25  31  31/25 26  42  21/13 27  40  40/27 28  56  2 29  30  30/29 30  72  12/5 31  32  32/31 32  63  63/32 33  48  16/11 34  54  27/17 35  48  48/35 36  91  91/36
      37  38  38/37 38  60  30/19 39  56  56/39 40  90  9/4 41  42  42/41 42  96  16/7 43  44  44/43 44  84  21/11 45  78  26/15 46  72  36/23 47  48  48/47 48  124  31/12 49  57  57/49 50  93  93/50 51  72  24/17 52  98  49/26 53  54  54/53 54  120  20/9 55  72  72/55 56  120  15/7 57  80  80/57 58  90  45/29 59  60  60/59 60  168  14/5 61  62  62/61 62  96  48/31 63  104  104/63 64  127  127/64 65  84  84/65 66  144  24/11 67  68  68/67 68  126  63/34 69  96  32/23 70  144  72/35 71  72  72/71 72  195  65/24
      73  74  74/73 74  114  57/37 75  124  124/75 76  140  35/19 77  96  96/77 78  168  28/13 79  80  80/79 80  186  93/40 81  121  121/81 82  126  63/41 83  84  84/83 84  224  8/3 85  108  108/85 86  132  66/43 87  120  40/29 88  180  45/22 89  90  90/89 90  234  13/5 91  112  16/13 92  168  42/23 93  128  128/93 94  144  72/47 95  120  24/19 96  252  21/8 97  98  98/97 98  171  171/98 99  156  52/33 100  217  217/100 101  102  102/101 102  216  36/17 103  104  104/103 104  210  105/52 105  192  64/35 106  162  81/53 107  108  108/107 108  280  70/27
      109  110  110/109 110  216  108/55 111  152  152/111 112  248  31/14 113  114  114/113 114  240  40/19 115  144  144/115 116  210  105/58 117  182  14/9 118  180  90/59 119  144  144/119 120  360  3 121  133  133/121 122  186  93/61 123  168  56/41 124  224  56/31 125  156  156/125 126  312  52/21 127  128  128/127 128  255  255/128 129  176  176/129 130  252  126/65 131  132  132/131 132  336  28/11 133  160  160/133 134  204  102/67 135  240  16/9 136  270  135/68 137  138  138/137 138  288  48/23 139  140  140/139 140  336  12/5 141  192  64/47 142  216  108/71 143  168  168/143 144  403  403/144
      145  180  36/29 146  222  111/73 147  228  76/49 148  266  133/74 149  150  150/149 150  372  62/25 151  152  152/151 152  300  75/38 153  234  26/17 154  288  144/77 155  192  192/155 156  392  98/39 157  158  158/157 158  240  120/79 159  216  72/53 160  378  189/80 161  192  192/161 162  363  121/54 163  164  164/163 164  294  147/82 165  288  96/55 166  252  126/83 167  168  168/167 168  480  20/7 169  183  183/169 170  324  162/85 171  260  260/171 172  308  77/43 173  174  174/173 174  360  60/29 175  248  248/175 176  372  93/44 177  240  80/59 178  270  135/89 179  180  180/179 180  546  91/30

大的友誼數群
若三個或三個以上的正整數，其因數函數除以自身的比值相等，則這些正整數形成友誼數群（）。換言之，友誼數群是友誼數關係的等價類。目前還不知道是否有由無限多個正整數組成的友誼數群。完全數的因數函數為自身的2倍，因此所有完全數形成一個友誼數群，推測應該會有無限多個完全數（至少會和梅森質數的個數一樣多），但尚未被證明。

 孤獨數 

不與其他數組成友誼數對的正整數稱為孤獨數（）。

所有滿足( n, σ(n) ) = 1的n（）都是孤獨數，因此所有質數冪都是孤獨數。n, σ(n)非互質的孤獨數已知有18, 45, 48, ... （）。10, 14, 15, 20等數未能證明它是否孤獨數。

参考文献

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