适应过程

适应过程是随机过程研究中常见的概念，表示不能“预见未来”的随机过程。非正式的数学解释是，一个随机过程是适应于某个参考族的，当且仅当在任意的特定时刻，随机过程都是可测的。适应过程是随机过程理论中很多重要概念的基础。比如说能够定义伊藤积分的随机过程就需要是适应过程。

定义
设有
 概率空间；
 测度空间，状态空间；
 有序的指标集： 可以是非负实数集、有限时间集或离散时间；
 σ-代数上的参考族；
 随机过程。
则随机过程是适应过程（适应于的随机过程）当且仅当对任意的时刻，映射：都是-可测的随机变量。

适应过程的定义说明，如果一个过程适应于某个参考族，那么在任意一个特定的时刻，我们掌握的信息都包括了这个过程。也就是说这个过程在任意时刻的结果必然在该时刻可知。但一般来说，适应过程在任意时刻的结果并不能提前预知。如果一个（离散的）随机过程在时刻的结果能够在的时刻已知，那么这个过程被称为在参考族中可预测。可预测的随机过程必然适应于参考族，反之则不然。

例子
设状态空间为实数及其波莱尔σ-代数。设指标集为连续的： 给定一个随机过程，如果考虑过程产生的自然参考族：

那么当然是适应于的过程，因为在每个时刻，都是-可测的随机变量。自然参考族也是能使得为适应变量的“最小”参考族。适应于某个参考族，当且仅当在任何时刻， 

设是某彩票每期的开奖结果，那么是一个适应随机过程，但不可能是一个可预测过程。

参考来源

Category:随机过程
Category:测度论