反正弦

反正弦（arcsine，，）是一種反三角函數，也是高等數學中的一種基本特殊函數。在三角學中，反正弦被定義為一個角度，也就是正弦值的反函數。在实数域内，正弦函數的值域为，不是一個双射函數，故在整个定义域上無法有单值的反函數；但若限定正弦函數的定義域在（）内，则正弦函数有反函数。在实数域内，通常将反正弦函数的定義域限制在區間，值域限制在區間（）中；若利用自然对数，则可将反正弦函数的定义域扩充至整个复数集，但这样一来反正弦函数也将变成多值函数。

 命名 
反正弦的符號是arcsin，也常常写作。如此写法可以被接受的理由是，正弦函數的倒數是余割，有單獨的寫法，因此不易和混淆。另外在某些計算機的按鍵或電腦的編程語言中，反正弦會以asin或asn表示。

 定義 
原始的定義是將正弦函數限制在（）的反函數，得到如下定義域和值域：

（）

利用自然對數可將定義推廣到整個複數集：


 運算 
反正弦函数的导数是：

故实数域内，它在整个定义域上单调递增。
反正弦函数的泰勒级数是：

.

反正弦函数是奇函数，故：

另外，反正弦的和差也可以合并成一個反正弦來表達：

其中。

和差公式：

倍變數公式：

（对0 ≤ kx ≤ 1）

參見
正弦
反餘弦

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