幾乎所有

數學中，幾乎所有（）表示「除了極少數可忽略的以外，其他都是」。更準確的說法，若是集合，「集合中幾乎所有的元素」表示「集合中，不考慮在某個子集內元素的其他元素。」「可忽略」的具體意思則依上下文而定，可能是有限集合、可數集或零测集。

相反的，幾乎沒有（almost no）表示「只有極少數可忽略的是」，「集合中幾乎沒有的元素」表示「集合中，只有在某個可忽略子集內的元素」。

不同數學領域中的意思
普遍的意思

數學裡的「幾乎所有」有時會指「无限集合中的元素，只有有限多個不符合，其餘都符合」的情形。此用法也會用在哲學上。「幾乎所有」也可以指「不可數集中的元素，只有可數數量的不符合，其餘都符合」的情形。

例如：
 幾乎所有正實數都超過1012。
 幾乎所有质数都是奇数（只有2例外）
 幾乎所有多面体都是非正多面體（只有九個例外，五個柏拉圖立體和四個星形正多面體）。
 若P是非零多項式，則P(x) ≠ 0對幾乎所有的x都成立。
量測理論中的意思


在探討实数時，有時「幾乎所有」是指「除了在某個零测集以外的所有實數。」。同様地，若S是某個實數集合，則「幾乎所有在集合S裡的數字」是指「除了在某個零测集以外，集合S的所有實數。」數線可以視為是一維的欧几里得空间。在更廣義的n維空間（n為正整數），其定義則推廣為「除了在某個零测集以外，空間裡的所有點。」或是「除了在某個零测集以外，集合S裡的所有點。」 （此時，S是空間中點的集合）。更廣義的說法，「幾乎所有」在测度理論中有時是指幾乎處處，或是概率论中的几乎必然。

例子：
 在测度空间（例如實數）裡，可數集是零测集。有理数的集合可數，因此幾乎所有的實數都是無理數。
 證明了代數數的集合也是可數的，因此幾乎所有的實數都是超越數。
 幾乎所有實數都是正规数。
 康托尔集也是零测集，雖然康托尔集不可數，但幾乎所有實數都不在內。
 康托尔函数的導數在单位区间內幾乎所有數字下均為0。這是以上範例的結果，因為康托尔函数是，在康托尔集以下，其導數為0。

數論中的意思

数论中的「幾乎所有正整數」可以指「自然密度為1集合裡的正整數」。也就是說，若A是一個正整數的集合，當n趨近無限大時，小於n，在集合A裡的正整數數量，除以小於n的正整數數量，比值趨近於1，則幾乎所有整數都是在集合A內。

若再進一步推廣，令S是正整數的無窮集合，例如正的偶數集合或是质数集合，若A是S的子集合，且當n趨近無限大時，若集合A裡小於n的元素數量，除以集合S裡小於n的元素數量，比值趨近於1，則可以說幾乎所有集合S裡的元素都在集合A裡。

例子：
 正整數的其自然密度為1，因此每一個餘有限集都包括幾乎所有的正整數。
 幾乎所有正整數都是合数
 幾乎所有正的偶數都可以表示為二個質數的和。
 幾乎所有質數都不是孪生素数。進一步說，針對每一個正整數，幾乎所有質數的間隙都大於，幾乎所有質數和其較大質數以及較小質數的間隔都都大於，也就是說，在和之間沒有其他的質數。
拓撲學中的意思
在topology，特別是动力系统理论中（包括經濟學的應用） ，拓扑空间內幾乎所有的點可以指「除了在某個以外，所有此空間內的點。」有些則用更限定的定義，子集包括空間內幾乎所有的點，若這個子集包括某個开集的稠密集。

例子：
 給定某個代数簇，在簇內幾乎所有點都符合的性质就是。這是因為在具有扎里斯基拓扑的不可約代数簇裡，所有非空的開集合都是稠密集

代數中的意思
在抽象代数和数理逻辑中，若U是集合X的超滤子，「集合X內幾乎所有元素」有時是指「U的部份元素內的元素」。針對任何將X分為二個不交集的集合划分，其中一個不交集包括X裡幾乎所有的元素。

證明

相關條目

幾乎
幾乎處處
几乎必然
參考資料
一次文獻

二次文獻

外部連結

Category:数学术语
Category:數學表示法