累积量

在概率论和统计学中，一个概率分布的累积量()是指一系列能够提供和矩一样的信息的量。累积量和随机变量的矩密切相关。如果两个随机变量的各阶矩都一样，那么它们的累积量也都一样，反之亦然。

对于随机变量而言，一阶累积量等于期望值，二阶累积量等于方差，三阶累积量等于三阶中心矩，但是四阶以及更高阶的累积量与同阶的中心矩并不相等。在某些理论推导中，使用累积量更加方便。特别是当两个或者更多的随机变量相互独立时，它们的
阶累积量的和等于它们和的阶累积量。另外，服从正态分布的随机变量的三阶及以上的累积量为。

定义
一个随机变量的阶累积量可以用累积生成函数来定义

从上面的观察可知，累积量可以通过对生成函数（在0处）进行求导得到。也就是说，累积量是的麦克劳林级数的系数。

如果使用（没有中心化）的阶矩和矩生成函数则可以定义：

使用形式幂级数定义的对数函数：

随机变量的累积量和随机变量的矩密切相关。比如说，随机变量X有期望和方差  ，那么它们也是前两阶的累积量： 。

要注意有时候阶矩会用角括号来表示：，累积量则用下标的角括号表示：。

如果随机变量的矩生成函数不存在，那么可以通过后面对于累积量与矩之间的关系的讨论定义累积量。

有些作者Kendall, M.G., Stuart, A. (1969) The Advanced Theory of Statistics, Volume 1 (3rd Edition). Griffin, London. (Section 3.12)Lukacs, E. (1970) Characteristic Functions (2nd Edition). Griffin, London. (Page 27)偏向于定义累积生成函数为随机变量的特征函数诱导的自然对数。这种定义下的累积生成函数也被称为随机变量的第二类特征函数Lukacs, E. (1970) Characteristic Functions (2nd Edition). Griffin, London. (Section 2.4)Aapo Hyvarinen, Juha Karhunen, and Erkki Oja (2001) Independent Component Analysis, John Wiley & Sons. (Section 2.7.2)。

统计数学中的应用

使用累积量的一个优势是它对应的生成函数是加性函数。比如说对两个独立的随机变量和，

它们的和的累积量是各自的累积量的和。

 一些具体概率分布的累积量
 常量的累积生成函数是 。 一阶累积量是,其他阶的累积量均为0， 。
 服从伯努利分布的随机变量的累积生成函数是 。一阶累积量是，二阶累积量是,累积量满足递推公式



 服从几何分布的随机变量的累积生成函数是。 一阶累积量是，二阶累积量是。
 服从泊松分布的随机变量的累积生成函数是。所有的累积量均等于参数: 。
 服从二项分布的随机变量的累积生成函数是。 一阶累积量是，二阶累积量是。
 服从负二项分布的随机变量的累积生成函数的导数是。一阶累积量是，二阶累积量是。

相關條目
累積量生成函數

参考来源

外部链接

累积量 ：一些数学术语的早期使用

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