哈代-李特爾伍德極大函數

數學上，一個局部可積函數的哈代－李特爾伍德極大函數（Hardy–Littlewood maximal function）在一點的值，是所有以該點為中心的球上函數的平均值的上確界。

定義
對一個在上定義的局部可積函數f，可定義其哈代－李特爾伍德極大函數Mf如下

（Mf(x)可能是。） 其中m是上的勒貝格測度。

性質
Mf(x)是下半連續函數。
證明
對任何，可假設Mf(x) > 0。（否則幾乎處處f=0）

任意取0 < c < Mf(x)。從Mf定義知存在r > 0使得

存在使得。
對任何，有
所以

因此Mf是下半連續。

哈代－李特爾伍德極大不等式
設為可積函數，對任何常數，有不等式

證明
對每個在集合內的點x，都有，使得

設K為內的緊集。開球是K的一個開覆蓋。因K緊緻，存在有限子覆蓋。（）

用維塔利覆蓋引理，這有限子覆蓋中存在子集，當中的開球兩兩不交，而且將這些開球的半徑增至三倍後可以覆蓋K。於是

上式第四行的不等式使用了開球兩兩不交性質。從勒貝格測度的內正則性，集合的測度等於在其內的所有緊集的測度的上確界，故有

應用
哈代－李特爾伍德極大不等式可以用來證明勒貝格微分定理。

參考
Rudin, Walter (1987), Real and complex analysis, International Series in Pure and Applied Mathematics (3rd ed.), McGraw-Hill.

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