施瓦茨-米爾諾引理

施瓦茨－米爾諾（Schwarz–Milnor或Švarc–MilnorŠvarc是阿爾伯特·施瓦茨的俄文姓氏的俄語拉丁轉寫。他移居美國後，使用他的姓氏的拉丁字母慣常寫法Schwarz。）引理，是數學上的一個結果，給出了群和在度量空間上的群作用的關係。阿爾伯特·施瓦茨首先發現這個結果，十數年後約翰·米爾諾重新發現。這條引理有時稱為幾何群論基本定理。Benson Farb, Lee Mosher,Convex cocompact subgroups of mapping class groups有了這條引理，就可以由度量空間的幾何性質，來研究群的性質。

定義
設X為一個度量空間。如果X每兩點都有測地線相連，就稱X為測地的。

如果X中每一個閉球都是緊緻集，就稱X為常態的。考慮X中從某點量度距離的函數

那麼閉球是緊緻區間[0,a]在下的原像。因此，閉球都是緊緻集這個條件，便等價於所有形如的距離函數都是常態映射。這就是稱度量空間X為常態的原因。

一個群G在X上的群作用稱為真不連續的，如果對每個緊緻集，G中只有有限個元素g，使得。這個群作用稱為餘緊的，如果存在一個緊緻集，使得。

引理敘述
設X為一個常態測地度量空間。如果一個群G以等距映射真不連續地、餘緊地作用在X上，那麼G是有限生成群。而且G中用一個有限生成集合S賦予G以字度量後，和X擬等距同構；對於X的任何一點，映射都是從G到X的擬等距映射。

證明
G中任何有限生成集合所對應的字度量，都是擬等距同構。故此只需找到一個有限生成集合S，證明在G上取對應S的字度量後，和X是擬等距同構即可。

選定。因為群作用是餘緊的，存在，使得在G的作用下覆蓋X。

取G的一個子集

G的元素g若在子集S內，則有

X是常態度量空間，故是緊緻集，又因群作用是真不連續的，所以這樣的g僅有有限個。因此S是有限集。

對G中任何非平凡元素g，有一條測地線段連接兩點和。設k為整數，符合

在這條測地線段上取點，j=1,..., k+1，滿足。

對每一點，都存在G中的元素，使得。可指定, 。如果，則有，因為

由此得出g是由最多k+1個S的元素的積。因此S是G的生成集合，而且對所有g都有

取，用三角不等式得出

對任何，有

故此從以上兩條不等式可以得出

而且X中每一點x都距離某個不超過r，所以是擬等距映射，G和X是擬等距同構。

註釋和參考

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