擬等距同構

擬等距同構是數學上度量空間之間的等價關係，著重在度量空間上的粗結構，而忽略掉小尺寸上的細節。這樣有如從遠處觀看度量空間，看到其大概，而察看不出細處的分別。

定義
設有兩個度量空間, ，並有（未必連續的）映射。若存在常數, ，使得對所有，有

那麼稱映射  是 -粗利普希茨的。這條不等式，可視為  在長距離時差不多是 -利普希茨連續的。

若對所有，有

那麼稱映射  是一個 -擬等距嵌入。雖然  不一定符合平常意義上的嵌入，即f未必把兩個不同的點映射到不同的點上，但是對兩個相隔得足夠遠的點，這兩點的像也是不同的。

擬等距映射有兩個等價定義：
若是 -粗利普希茨映射，且存在 -粗利普希茨映射，使得對所有，所有，都有

那麼稱映射  為 -擬等距映射。這兩條不等式，可視為在長距離時， , 差不多是互為逆映射。

 是一個 -擬等距嵌入，並且對任一點，都存在使

那麼稱映射  為 -擬等距映射。這條不等式，是說 中每一點距離  的像  都不超過 。對這定義的 ，可以構造前一定義的  如下：對每一點，取任一個使得，並令。

這兩個定義中的 , 值可能不同。

兩個度量空間, 若存在 -擬等距映射，則, 稱為 -擬等距同構。http://www.math.ucdavis.edu/~kapovich/EPR/ggt.pdf  Cornelia Drutu and Michael Kapovich, Lectures on Geometric Group Theory若常數 ,  的值不要緊時，可以簡單地稱 ,  為擬等距同構。

對度量空間 , , ，如果, 都是擬等距映射，那麼也是擬等距映射。

例子
設函數，以四捨五入方式，從實數映射到整數上。那麼f是一個擬等距映射。按擬等距映射的定義一，可以取 , ，而可用。因此和是擬等距同構。

對任何正整數 ，和間也有類似的擬等距映射，所以和是擬等距同構。

任何兩個有界的度量空間都是擬等距同構，在兩者間的任何映射都是擬等距映射。

群論上的應用
一個有限生成群 ，其中任何兩個有限生成集合 ,   賦予  兩個字度量, ，那麼和是擬等距同構。所以縱使  可以有多種不同的字度量，但都對應同一個擬等距同構類。因此，可以定義有限生成群之間的擬等距同構關係。而一般的度量空間中的性質，凡是於擬等距映射下不變的，都可以用為有限生成群的性質。幾何群論中的雙曲群正是一例。

如果一個有限生成群作用於一個度量空間，並滿足一些條件，根據施瓦茨－米爾諾引理，這個群和受其作用的度量空間是擬等距同構。故此可以從研究度量空間，得知群的一些性質。

參考

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