字度量

群論中，字度量是在群上的一種度量，就是一個方法去量度群中兩個元素之間的距離。給出群的生成集，每個元素都可以用寫成很多個不同的字。例如設是所有整數組成的群，取，3就可以寫成1+1+1，或者-1+1+1-1+1+1+1等字。每個字用了多少個的元素，這就是字的長度，例如1+1+1的長度是3，-1+1+1-1+1+1+1的長度是7。可以用英文字來比喻：英文字的生成集是英文字母，字的長度就是字母的數目，如colour的長度是6，color的長度是5。

兩個元素的字度量定義為以表示成的最短的字的長度。

兩個元素的字度量，等於凱萊圖中這兩個元素的距離。É. Ghys and P. de la Harpe (éd.), Sur les groupes hyperboliques d'après Mikhael Gromov. Progress in Mathematics, 83. Birkhäuser Boston, Inc., Boston, MA, 1990.

例子
考慮整數群。若取生成集合，那麼兩個整數之間的字度量是。

若取另一個生成集合，則和之間的字度量，因為用所能表示成的最短的字（3-2或-2+3）的長度為2。

性質
從字度量的定義可以看出，群於自身的左乘作用下，字度量不變：

（因為。）

一個群給出不同的生成集合，對應的字度量可以不同。不過，如果是有限生成的，則兩個有限的生成集合所給出的字度量是雙利普希茨的，即存在常數使得對任何都有

證明如下：中的各元素用表示成的字，其中最長的長度設為。那麼每個用表示成的字，都可用改寫成不超過倍的長度的字。故此

同樣地，有

取為和的較大者，得出不等式。

參考

Category:幾何群論
Category:度量几何
Category:群的性質
Category:词语组合